用“逆向”问题训练学生数学思维
摘要:数学教学不应该只让学生获得数学知识和技能,更重要的是启发学生的思维,培养学生分析问题,解决问题的能力,促进学生的全面发展.在数学课堂上培养学生的运算能力,能有效地为将来学生数学学习奠定了良好的思维能力基础等,这也成为了数学教师的重要任务.本文主要分析了影响数学教学中的逆向思维的因素,并提出了对学生的数学思维策略的培养
关键词:逆向
问题 变换 拓展
“逆向”问题是求出一个数学问题的正确结论后,将其作为条件之一,提出与原来问题有关的新问题,我们把它称为原来问题的一个“逆向”问题.这在我们数学里有很多这样的问题.
例如:原来问题是“若正四棱锥底面边长为4,侧棱长为3,求该正四棱锥的体积”求出体积后,它的一个“逆向”问题可以是“若正四棱锥的体积为,求所有侧面面积之和的最小值”.
针对一个题目,提出它的“逆向”问题,可以训练学生的解题思路,通常我们说的对问题的“举一反三”,特别是现今高中学生为了应对高考,一般是做大量的题目,达到对数学知识的熟练掌握,这些题目通常出自于课外的教辅学籍,耗费了学生大量的时间和精力,实际上大部分高考题目的背景和影子都来自于教科书上,所以我们吃透教材,反复研究就能把数学的绝大多数知识点掌握,训练学生对教科书中的题目进行“逆向”提问,就能实现对该数学知识点的拓展.仅以教科书中试题的逆向问题来训练学生解题思路.
例1求点P(-5,7)到直线12x+5y-3=0的距离的一个有意义的“逆向”问题,并解答如下:
“逆向”问题可以是:
(1)求到直线12x+5y-3=0的距离为的点的轨迹方程.
解:设所求轨迹上任意一点为P(x,y),则
所求轨迹方程为:
12x+5y+31=0或:12x+5y-25=0
(2)若点P(-5,7)到直线l:12x+5y+c=0的距离为,求直线l的方程.
解:,化简得:
所以,直线l的方程为:12x+5y-3=0或12x+5y+53=0
通过以上的变换,可发现不是问题的简单逆向,而是会产生更多种解,点与直线的距离问题就比较清晰了.
例2、直线x-2y+2=0与椭圆相交于A、B两点,求A、B两点的距离.
“逆向”问题可以是:
求经过点P(-2,0)与椭圆相交的弦长为的直线方程.
解:显然直线的斜率存在,设为k,直线方程为.
代入得:
由弦长公式得: 求得:
直线方程为:
通过“逆向”变换,我们对含有参数的直线与曲线相交,弦长问题有了更加深入的理解.
例3、点P是椭圆上一点,以点P以及焦点为顶点的三角形面积等于1,求点P的坐标.
“逆向”问题可以是:
(1)点是椭圆上一点,求以点P以及焦点为顶点的三角形面积.
解:
(2)点是椭圆上一点,以点P以及焦点为顶点的三角形面积等于1,求椭圆的方程.
解:
解得: 椭圆方程为:
(3)点P点是椭圆上任意一点,为椭圆的焦点,且,求的面积.
解:设
在中由余弦定理得:
椭圆上任意一点与两焦点构成的三角形问题,通过这题的变换基本体现出来,只是参数的改变问题了.
例4、两条曲线的方程是,它们的交点是的曲线也经过点P(是任意实数).
“逆向”问题可以是:
(1)求证:无论为何实数,曲线恒经过的交点.
(2)求证:无论m取任何实数,方程所表示的曲线必经过一个定点,并求出这一点的坐标.
这个题的“逆向”变换,把含一个参数的曲线系方程进行了阐述,理清了无论参数取何值曲线恒过一个定点的求法.
以上仅针对直线与圆锥曲线部分的题目进行说明,高中数学的其它内容也可用同样的方法去处理.对课本上题目进行有效的“逆向”变换,有意识的对学生进行这样的训练,有助于学生对该知识点的加深、拓展,有利于培养学生的创新能力、强化解题思维,真正做到紧紧抓住课本知识,扎实有效的把握知识点本身.