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解析高考题中的切线问题

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热度0票浏览51次时间：2018年5月23日 11:00

直线和曲线相切的位置关系是一种特殊的位置关系，是课堂教学中的重点和难点，同时也是高考考查的重要内容。教师应该对高考题中的切线问题进行探究，重视高考复习中切线问题的求解训练，引导学生掌握各种类型切线问题的解题思路，提高学生的解题能力。

一、高考题中的切线证明问题

在数学高考试题中，切线问题是常见的问题。解答在此种类型题目的过程中，学生需要对已知条件进行分析，对切线进行证明。例题：如图，在平面直角坐标系xoy中，已知直线l：x-y-2=0，抛物线C：y²=2px（p＞0）（1）若果直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程。（2）在抛物线C上存在过与直线l对称的相异两点P和Q，求证：线段PQ上的中点坐标是（2-p，-p），并且求解P的取值范围。

分析：此题在求解的过程中，需要对抛物线的焦点进行确定，之后带入求解直线方程。在问题（2）的证明过程中，需要对直线和抛物线的位置关系进行证明，之后根据相关的中点坐标公式进行求解证明。根据位置关系确定数量关系，最后得出取值范围。

解：（1）因为直线l：x-y-2=0，所以l和x轴的交点坐标是（2,0），所以抛物线的焦点坐标是（2,0），所以p=4，所以得出抛物线的方程是y²=8x

（2）设点P（x₁,y₁）、Q（x₂,y₂）所以得出，进行化解得出，所以KPQ=，又因为，P、Q关于直线l对称，所以K_PQ=-1，所以，因为PQ中点在直线l上，所以=2-p。所以线段PQ的重点坐标是（2-p，-p）。

因为中点的坐标是（2-p，-p），所以，关于y²+2py+4p²-4p=0有两个不等根，所以△＞0，所以求解得出p∈（0，）。

点评：在证明此题的过程中，需要证明直线和曲线的位置关系，之后求解相应的问题，对切线问题进行解答。

二、高考题中切线的几何性质

直线和曲线的相切问题是高考考查的重点问题，几何性质的运用和考查是其中的重要内容。因此，在对切线问题求解的过程中，需要充分利用几何性质，有效解答几何问题。

例题：如图，平面直角坐标系xoy中，已知以M作为圆心的圆M：x2+y2-12x-14y+60=0，以及在圆M上的点A（2,4）。

（1）设圆N和x轴相切，和圆M外切，并且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；

（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于点B、C两点，并且BC=OA，求直线l的方程；

（3）设点T（t，0）满足：存在圆M上的两点P和Q，使得，求解实数t的取值范围。

分析：问题（1）的解答过程中根据圆和直线相切确定圆心位置，根据两圆外切建立相应的等量关系对半径进行求解。问题（2）中对垂直定理进行运用，确定等量关系，对直线方程进行求解；（3）中利用向量和几何性质建立等量关系，求解问题。

解：（1）因为N在直线x=6上，设N（6，n），因为圆N和x轴相切，所以（x-6）2+（y-n）2=n2，n＞0，又因为圆N和圆M外切，所以，|7-n|=|n|+5，得出n=1，所以圆N的标准方程是（x-6）2+（y-1）2=1。

（2）（3）题的解答略。

在解答（1）的过程中，需要利用直线和圆、圆和圆之间的位置关系、几何性质等，来对问题进行有效解答。

三、利用数形结合思想求解切线问题

高考例题解题中切线问题求解的过程中，需要对曲线的切线理论和相关的工具进行综合运用，同时借助相应的图形，利用图形对切线和曲线的位置关系进行观察，寻找合适的解题方式，有效解答问题。

例题：在平面直角坐标系xoy中，椭圆E：（a＞b＞0）的离心率是，焦距是2。

（1）求椭圆E的方程。

（2）如图，动直线l：y=k₁x-交椭圆于A、B两点，并且C四椭圆E上的一点，直线OC的斜率是k₂，并且k₁k₂=，M是线段OC延长线的一点，并且|MC|:|AB|=2:3，圆M的半径是|MC|，OS、OT是圆M的两条切线，S、T是窃电，求∠SOT的最大值，并且求解最大值时直线l的斜率。

解析：（1）根据e==，2c=2得出a、b的值，求解出椭圆的方程。

（3）通过构建相应的方程组，对方程进行简化，利用韦达定理，进行求解。根据图中所示，设A（x1,y1）、B（x2,y2）构建方程组，根据题意△＞0，并且x1+x2=，根据题意得出圆M的半径。又因为k₁k₂=，所以，所以得出直线的方程。组建相应的方程，根据题意进行相应的计算，当t=2时，∠SOT取最大值为，并且斜率是±。