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平面向量的解题例谈

收藏打印举报来源： www.yushuwaixuexi.com 发布者：语数外学习

热度0票浏览47次时间：2018年7月24日 10:34

平面向量是高中数学重要的基础知识，概念、性质、定理较多，记忆与理解难度较大。新课改下，如何传授相关解题方法，使学生灵活应用平面向量知识，不断提高学生的解题能力，实现知识向能力的转化，是一线教师关注的重点。

一、向量线性运算解题方法

向量线性运算包括向量的加法、减法、数乘综合运算等，相关题目在各类测试中均有所出现。正确解答该类题目的关键在于理解概念，能够运用基底表示向量，因此，教学实践中，教师应引导学生脚踏实地，不可好高骛远，将基础知识搞清楚、弄明白，配合相关题目讲解，使学生切实地掌握向量线性运算本质，做到顺利、成功解题。

例1：如图1，平行四边形ABCD中，DC、BC的中点分别为点M、N，其中=c

=d，试用c、d表示、。

图1

分析：该题目考查向量线性运算，讲解该题目时，教师应引导学生认真观察图形，找到已知向量与要求向量的关系。同时，要求学生注意向量线性运算时，应注意搞清向量的方向。解题时根据题意，可用、作为基底表示、，计算得出向量系数，最后使用、表示、即可。

解题：由题意设=a，=b，∵M、N是DC、BC的中点，可得=b，=a

在△ABN和△ADM中，存在以下关系：

解上述公式得：a=（2d-c）、b=（2c-d），

∴=d-c，=c-d。

点评：平面向量线性运算类型的题目难度不大，解题时常使用基底向量表示平面内的任意向量，运用平行四边形或三角形法则进行运算，找到与基底向量间的关系即可。

二、向量坐标运算解题方法

向量坐标是向量的代数表示，其运算便转化成为代数运算，实现了数与形的统一。运用向量坐标运算可解决向量平行、判断共线、向量模等相关问题，因此，教学实践中，教师应注重向量坐标运算解题方法的讲解，使学生掌握向量坐标运算的过程，以及相关解题技巧。

例2：已知平面上的存在ABCD四点，坐标分别为A（1,0）、B（4,3）、C（2,4）、D（m，n），当m、n满足什么条件时，四边形ABCD为梯形。

分析：解答该题目时，应明确当四边形ABCD为梯形时边与边间的关系，而后使用向量的坐标运算进行计算，找到向量系数。显然四边形ABCD为梯形时上底、下底平行，考查了向量共线的知识，但两底并不确定，因此存在两种情况。

解题：根据题意，当四边形ABCD为梯形时满足或其中为实数，且＞0，≠1，即满足以下关系式：

或

对上式整理得：m、n的取值条件为n=m+2（m＜2，m≠-1）或n=-（m＜1且m≠-1）

点评：向量的加法、减法及实数和向量的积均可通过坐标进行计算，将向量运算完全代数化。在解答相关题目时，应注重向量基本定理、共线定理的应用。

三、向量数量积运算解题方法

平面向量的数量积计算方法有两种：根据数量积定义计算，计算公式为：a·b=|a||b|cosθ，θ为向量a、b的夹角；根据向量坐标计算，计算公式为a·b=x₁x₂+y₁y₂，其中a=（x₁，y₁）、b=（x₂，y₂）。运用向量数量积可解答两个向量夹角、平面内两点间的距离、向量的模等。教学实践中，教师应注重讲解一些典型例题，传授相关的解题技巧，帮助学生深刻理解向量数量积知识。