探讨高中数学应用题教学中数学建模的应用
应用题是高中数学中的一种常见题型,用于考查学生对所学知识的掌握以及灵活应用情况,对学生的理解、分析问题的能力要求较高,因此,教学实践中,教师应传授相关的解题技巧,使学生能够根据不同情境,建立正确的数学模型,迅速作答。高中数学中的数学模型较多,主要有函数模型、不等式模式模型、数列模型等,教师应注重这些模型在解答应用题中的讲解。
一、函数模型的应用
函数是学生接触、学习较早的数学知识,用于研究变量间的关系,不仅是数学学习的重点,而且在实际生产生活中应用广泛。高中数学应用题中涉及的函数知识,较为抽象,难度较大。为提高学生解答应用题的能力,树立解答应用题的自信,教师一方面,引导学生建立正确的模型,使其搞清楚变量的取值范围。另一方面,灵活运用函数知识,找到函数的单调区间,结合创设的情境,正确解答。
例1,如图1,两个圆形飞轮通过皮带传动,其中大飞轮O1的半径为2r(r为常数),小飞轮O2的半径为r,O1O2=4r。在大飞轮的边缘上有A、B两点,满足∠BO1A=,在小飞轮的边缘上有点C。设大飞轮逆时针旋转一圈,传动开始时,点B、C在水平线O1O2上。
图1
(1)求点A到达最高点时,A、C间的距离;
(2)求点B、C在传动过程中高度差的最大值。
分析:(1)较为简单,解答的关键找到两个飞轮转动关系,即,大飞轮转动角度是小飞轮转动角度的一半。(2)需要借助直角坐标系,创建函数模型,借助导数知识进行求解。
(1)由图可知A到达最高点时,转动了,C转动了。此时A点的坐标为(0,2r),C点的坐标为(,),由两点间的距离公式得:
AC==
(2)根据题意,设大飞轮转过的角度为,则小飞轮转过的角度为2,其中∈[0,2],则B(2rcos,2rsin),C(4r+rcos2,rsin2),则B、C的高度差为d,则d=|2rsin-rsin2|,即,d=2r|sin-sincos|,设f()=sin-sincos,∈[0,2],
则=(1-cos)(2cos+1)=0,解得cos=或1,则=、,0,2,当∈(0,)时,>0,∈(,)<0,当∈(,2),>0。
显然当=时,f()取得最大值,因此,BC转动中高度差的最大值为。
二、不等式模型的应用
不等式是高中数学的重要知识点,题型多变,既可以以选择题、填空题的形式出现,也可以应用题的形式出现。其中以应用题形式出现时,不仅要求学生列出正确的参数关系,而且需要准确确定参数范围,如此才能保证解答的正确性,因此,教学实践中,教师应注重讲解经典例题,使学生感受构建不等式模型的过程,掌握创建不等式模型的方法及注意事项。
例2,某森林发生火灾,火势每分钟蔓延100m2,消防站接到报警派消防员灭火,在火灾发生的5分钟后到达现场。已知消防队员平均每人每分钟灭火50m2,消耗的劳务津贴、灭火材料为每人每分钟125元。另外,每次救火耗损的装备、器械、车辆等费用每人100元,烧毁每平方森林损失60元。
(1)若救火的消防队员为x名,用t分钟将火扑灭。构建t和x的函数关系。
(2)派多少名消防队员取救火,使得总损失y最少?
分析:(1)认真读题,搞清楚参数间的关系不难求解。(2)需要构建总损失和消防队员数量关系的模型。
(1)t分钟火烧毁的森林面积为100×5+100t,则500+100t=5×t×x,即,t==
(2)设派x名消防队员,总损失y最少,则:
y=125tx+100x+60(500+100t)
由(1)得y=125·x·+100x+30000+=31450+100(x-2)+
由不等式知识得y≥31450+2=36450,当且仅当100(x-2)=,即,x=27时,y有最小值36450。
三、数列模型的应用
数列在高中数学中占有重要地位,是高考的必考内容。数列类型的试题不仅抽象,而且解答的技巧性较强,很多学生望而生畏,尤其以应用题的形式出现,难度较大,很多学生不不知所措。事实上数列类型的应用题有着明显的特征,因此,教学实践中,教师一方面,要求学生认真审题,找到创建数列模型的突破口。另一方面,认真分析创建的数学模型,根据题干要求求解出结果。
例3,某城市现有汽车保有量30万辆,预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%,并且每年新增汽车数量相等。为保护环境,要求该城市汽车保有量不能超过60万辆,那么每年新增汽车数量不能超过多少辆?
分析:该题属于数列类型的题目,应建立第n年汽车保有量和每年新增汽车数量间的函数关系式。
设该年年底的汽车保有量为b1万辆,以后各年年末汽车保有量依次为b2万辆,b3万辆,...,每年新增汽车x万辆。
b1=30,b2=b1×0.94+x
当n>1,bn+1=bn×0.94+x=bn-1×0.942+(1+0.94)x,...
因此,bn+1=b1×0.94n+x(1+0.94+···+0.94n-1)=b1×0.94n+=+(30- TAG: 发表论文 论文查重 论文代笔 论文格式 论文摘要 职称论文