基于数学例题教学 培训学生创新思维
美国著名的解题宗师波利亚说“掌握数学就意味着善于解题”,要学会善于解题,就要有正确的数学思维与方法、敏锐的直觉与创新意识.数学例题教学不仅要让学生的思考,而且要让学生在思考中产生创新思维,让学生通过思考程度的深入,越感到思考出味道,而且渐渐感到一些特别芳馨的味道.数学例题的解决不仅依赖于数学思想与方法,更加有利于培养和训练学生创新思维.
例1 (2014四川绵阳高三第一次诊断试题) 证明等式
分析:此题若用常规思维去考虑,学生会感觉找不到突破口,教师若能引导学生在思维方式、方法上创新(即把证明不等式转化为知函数值域问题)一下,即将此题的要证的等价变形为.经教师简单“点拨”,学生马上联想到构造辅助函数,再结合函数的导数与函数的单调性例题就迎刃而解了.
证明: 由可知其定义域为构造辅助函数:.
而有:.
(1) 当时有:,函数为增函数,
且有时函数值最大为 ,
所以: ,故:
(2) 当时有:,函数为减函数,
所以: 且有时函数值最大为 ,
,故:
综合(1)、(2)可得: ()
评注: 导数是高中课改后增加的内容,它在高中数学问题解题中具有极强的“生命力”,若在教学过程之中教师能很好地利用“导数”这一工具定能收到事半功倍之奇效.
例2 设为实数,且满足关系式:
基金项目:四川省教育厅基金资助(16ZB0314)
通讯作者:胡小平(1964- ),男,教授,研究方向:数学教育;试题分析与研究
,则_________.
解析 此题用常规方法,分别求出和的值后再求则既繁且难,三次方程毕竟不熟悉.教师引导学生认真分析其题的结构特征:两个方程对应相加其和为面,从而将思维培训开去联想:若将两方程联立构造出方程
.
利用函数的单调性,易得,由此式推出的值为十分自然、简洁(解法略).
评注: 解决此题巧妙地回避了常规思维去求出和的值后再求,培训思维创新地借用了转化为,妙用函数单调性把例题解决.
例3 求和两直线都相切,且过点的圆的方程.
解析 容易验证点在直线上.
所以可把点看作点圆,其方程是:
设所求圆的方程为: (为常数).
即 .
其圆心,半径为.
是方程(2)表示的圆的切线.
化简解得,.
当时,将代入方程(2)便得所求圆的方程是:
.
当时,将代入所设方程,可得所求圆的方程是:
.
评注 此种方法与常规解法差异十分明显.若与常规解法相比,思路简洁、流畅,让人真有“奇思妙解”、“拍案称绝”之感,堪称培养训练学生创新思维的好题妙解.
例4 若是定义在上的函数,并满足
.求.
解析 常规思维用递推关系求解,即由已知条件推出,然后由.尽管最终能求出结果,但必竟费时.若能放手地让学生联想所学知识()去相类比,而函数是周期函数,且周期,由此联想到原题中可能是周期函数, 且周期.到此, 经过培训学生的思维,例题的解决方案得以形成.
解 由有
.
即 是以8为周期的周期函数.
因此
由 可求得
所以
评注 在该题的分析与求解过程中,充分体现了教师在数学例题教学中强化利用“类比联想意识”来培训学生创新思维.让学生在不知不觉的情况提升了创新思维的同时也提升了解题能力.