高中数学中求参数取值范围的几种方法
求解参数的取值范围问题是高中数学学习的重点问题之一,近年来在各地的模拟试题以及高考试题中更是屡屡出现.这类问题涉及函数的图像与性质、导数等知识,综合性强,灵活性大,学生遇到这类问题,较难找到解题的切入点和突破口。现结合自己高中数学教学,总结了以下几种求解参数取值范围的方法,希望对同学们的学习有所帮助。
一、 数形结合法
数形结合是数学解题中常用的思想方法。著名数学家华罗庚说:“数缺形时少直观,形少数时难入微。” 使用数形结合方法,能使复杂问题简单化,抽象问题具体化,有助于把握数学问题的本质,它是数学的规律性与灵活性的有机结合。
若把不等式进行合理的变形后,能非常容易地作出不等号两边函数的图象,则可以通过画图直接判断得出结果。尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷。
例1已知函数,若f(x)存在唯一的零点,且>0,则a的取值范围是 A.(2,+ ∞) B.(1,+ ∞) C.(-∞,-2) D.(-∞,-1)
【解析】由f(x)=0得,令,易知y=g(x)为奇函数,y=g(x)在(0,1)单调递增,在(1,+ ∞)单调递减,且当时,y=g(x)趋近于x轴(x轴上方),g(1)=2 ,作出 y=g(x)的图像,根据题意,要使y=g(x)与y=a有一个唯一交点>0,则a<-2,
综上可知,实数a的取值范围为(-∞,-2),故选C.
二、 分离变量法
分离变量法:是通过将两个变量构成的方程(或不等式)变形到方程(或不等式)的两端,使两端变量各自相同,解决不等式恒成立、不等式存在(有)解和方程有解中参数取值范围的一种方法。两个变量中,其中一个范围已知,另一个范围未知。
解决问题的关键: 分离变量之后将问题转化为求函数的最值或值域的问题,分离变量后根据已知自变量的范围,研究其单调性,确定该函数的极值(或最值),转化为恒成立、存在、方程有解中的一个,进而求出所求变量的取值范围。
例2已知函数f(x)=alnx+x+(a≠0),g(x)=2x2﹣mex(e=2.718…为自然对数的底数),当a=﹣e时,对任意x1∈[1,4],存在x2∈(1,3),使g(x1)≥f(x2),求实数m的取值范围.
【分析】:易知,当x=﹣6a=e时,函数取得极小值,同时也是最小值f(e)=alne+e+=﹣e+e+e=e.根据题意g(x1)≥f(x2)等价为g(x1)≥e即可,据此通过分离变量求出g(x1)最小值为﹣,则m≤﹣.
三、 构造函数法
构造函数法即是通过一定的转化,构造出一个与原问题有关或等价的新问题(即称为辅助问题),并借助此函数本身的性质或利用函数的运算结果解决原问题的方法。
构造函数的关键:选择恰当的函数解析式,利用构造函数法来解题不仅需要有高度的观察和分析能力,更重要的是要具有发散性思维.
例3已知函数,∈R,当时,≤恒成立,求的取值。
【解析】:
,
综上所述,的取值范围是
四.变换主元法(参变量转换法)
变换主元法:对于数学中的多元参数问题,选择某参变量为主元,原自变量为参数,亦即把参变量与主变量对换,反客为主,另辟蹊径,从而达到问题解决的一种方法。
例4 已知函数f(x)=ln(ex+a)(a为常数)是实数集R上的奇函数,函数g(x)=λf(x)+sinx(λ≤﹣1)是区间[﹣1,1]上的减函数,(1)求a的值.(2)若g(x)≤t2﹣λt+1在x∈[﹣1,1]上恒成立,求t的取值范围.
【解析】:(1)由于f(x)=ln(ex+a)是实数集R上奇函数,故f(0)=0∴a=0
(2)又∵g(x)在[﹣1,1]上单调递减,∴g(x)max=g(﹣1)=﹣λ﹣sin1
若要使g(x)≤t2﹣λt+1在x∈[﹣1,1]上恒成立,只需﹣λ﹣sin1≤t2﹣λt+1,
∴(1﹣t)λ+t2+sin1+1≥0(其中λ≤﹣1恒成立).
令h(λ)=(1﹣t)λ+t2+sin1+1(λ≤﹣1)
则∴而t2+t+sin1≥0恒成立
∴t≥1