高中数学教学中数形结合思想的应用初探

数形结合是一种重要的数学思想，应用于高中数学解题中，可简化解题步骤，提高解题效率，因此，教学实践中，教师应做好教学内容分析，注重数形结合思想在教学中的渗透，并通过经典例题的讲解，使学生感受数形结合思想的具体应用，提高该思想的应用意识，提升数学解题能力。《语数外学习》杂志社官方网站i0o%iLCpC

一、数形结合思想应用于参数范围的求解

求解参数取值范围是高中数学常见题型，学生并不会感到陌生。该题型求解方法多种多样，尤其应用数形结合思想求解，计算简单、事半功倍，因此，教学实践中，教师应将数形结合思想渗透至相关教学内容之中，提高学生认识。同时，注重列举经典例题，为学生讲解数形结合思想的具体应用，使学生感受数形结合思想在解题中的妙用，培养学生应用数学结合思想解题的意识与习惯。

例1，已知实数a、b、c，满足a2+b2=c2，c≠0，求的取值范围。

该题目题干较简单，很多学生看到题目后没有思路。教师则引导学生认真观察a2+b2=c2，不难联想直角三角形中的勾股定理。考虑到c≠0，则可令a=ccosx，b=csinx，使用数形结合思想求解。取x[0，2]，则==。令y=，求其取值范围，即求点（cosx，sinx）和点P（2，0）斜率的取值范围。而点（cosx，sinx）在单位圆上，因此，画出如图1所示图形。《语数外学习》杂志社官方网站KEjMay

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图1

由图不难得知直线斜率的取值范围是[-，]，即，的取值范围为[-，]。

解答高中数学题目时，教师应引导学生如遇到较为新颖的题型，应冷静分析，联想已学过的知识点，如三角换元，将其转化为对应的图形，借助数形结合思想求解。正如该题，看似无从下手，换元后应用数形结合思想，问题便迎刃而解。《语数外学习》杂志社官方网站's-c9n9jU(i

二、数形结合思想应用于零点个数的求解

求解函数零点个数题型在高中数学中的出现频率较高。部分试题涉及的函数为抽象函数，难度较大，一些学生不知如何求解。教学实践中，教师一方面，为学生深入讲解零点个数知识点，使学生深入理解函数的零点是函数与x轴交点的横坐标，是一个数值，而不是一个点。另一方面，优选经典例题，引导学生应用数形结合思想求解，加深对零点理解的同时，掌握应用数形结合思想解答零点个数试题的技巧。

例2，已知函数f（x）是定义在[1，+∞）上的函数，且f（x）=，则函数y=2xf（x）-3在区间（1,2019）上的零点个数为：___。《语数外学习》杂志社官方网站uE#OrR;T

如从代数角度考虑该题，不仅难度较大，而且计算繁琐，不容易得出正确结果。对要求的问题进行深入分析可知，可将y=2xf（x）-3的零点转化为y=f（x）和y=的交点个数。《语数外学习》杂志社官方网站4iC^+l{

图2

根据题干画出如图2所示图形，易知交点在x1=，x2=3，x3=6，···，xn=3·2n-2，···。由xn=3·2n-2（1,2019），解得1≤n≤11，因此，函数y=2xf（x）-3在区间（1,2019）上的零点个数为11。

求解函数零点个数的题目，难度或难或易，尤其针对运用代数法求解难度较大的题目，不妨使用数形结合思想进行求解，即，将函数两点问题转化为两个函数交点问题，而后借助图形便不难求解。《语数外学习》杂志社官方网站b"K3d'[&[xc+Y B

三、数形结合思想应用于最值的求解《语数外学习》杂志社官方网站T+Y6Xbr ll B o

求最值在高中数学各类测试中较为常见，常应用不等式知识进行求解。但部分题目不能直接运用不等式知识求解，需要进行转化，即，将“形”转化为“数”，因此，教学实践中，教师一方面，为学生深入讲解数形结合思想，要求学生不仅要知道将“数”转化为“形”，也应知道将“形”转化为“数。另一方面，为进一步加深学生对数形结合思想的深入理解，为其灵活应用奠定基础，教师应注重讲解经典例题。

例3，在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，若=+，则+的最大值为：____。

分析可知，该题目无法直接求解，需要结合图形，构建平面直角坐标系，运用数形结合思想进行求解。根据题干建立如图3所示的平面直角坐标系。

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图3

设A（1,0），B（0，0），C（2，1），P（x，y），由等面积公式可得圆的半径r=，则圆的方程为（x-2）2+y2=，则=（x，y-1），=（0，-1），=（2，0），∵=+，则，则+=，令z=，因为点P（x，y）在圆（x-2）2+y2=上，因此，圆心到直线距离d≤r，即，≤，解得1≤z≤3，即+的最大值为3。

解答求解最值题目时，常将图像转化为数，运用函数或不等式知识求解。正如本题将图形之间的关系转化为坐标，运用点到直线距离求解最大值，顺利得出正确结果。通过该题目的讲解使学生认识到运用数形结合思想时，应具体问题具体分析，注重应用的灵活性。《语数外学习》杂志社官方网站-Ag mH+y+Y

四、结论《语数外学习》杂志社官方网站XLm-tE)L

高中数学试题类型多种多样，蕴含丰富的解题思想，为提高学生的解题能力与数学成绩，教学实践中，教师既要注重数学基础知识讲解，使学生扎实掌握函数、方程与图形知识。另外，还应传授相关的解题思想，指导学生更好的解题，尤其通过讲解经典题目，为学生讲解数形结合思想的应用，使学生掌握数形结合思想应用技巧，结合具体题目，积极联系所学，实现数与形之间的灵活转化。