数形结合思想在求函数最值中的应用
求函数最值是函数研究的重要组成部分, 也是函数问题中的重点难点，选择正确的方法进行求解显得尤为重要.而利用几何图形的“数形结合”思想求函数最值就是的一个非常有效的方法, 它能直观的反映函数本身的特性，充分利用这个“形”可以把复杂的数学问题变为简单的几何问题, 便可使问题快速获得解析.
关键词：数形结合；函数最值；两点距离
数与形是数学中两个最基本的对象, 数学的所有问题基本上都是围绕数与形的提炼、演变、发展而展开的, 每个几何图形中都包含着一定的数量关系, 而数量关系又可通过图形进行直观的描述.“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合就是把数量关系与图形对应起来，可以借助图形的位置关系来研究数量关系，又或者可以利用数量关系来研究图形的性质，这是一种重要的数学思想方法.数形结合的思想可以使抽象的问题具体化，复杂的问题简单化，利用数形结合的思想方法可以深刻揭示数学问题的本质.
在考题中，数形结合的解题思想有着广泛的应用，尤其体现在求函数最值这一类型的题型上，我们往往可以利用图象为工具，借助图形的直观性寻求解题思路、制定解题方案.特别在很多选择、填空之类的小题中真正能体现数形结合这一解题方法的优势.
掌握了数形结合思想, 不仅能提高数形转化的能力, 还可以提高思维迁移能力, 接下来给出一些例子加以详细的说明.
例1求函数
的最小值.
解：分析：可以把
化成如下形式：
且
是点
到点
的距离之和, 点C在
轴上滑动，
关于
轴的对称点为
,C到
的距离等于到
的距离，如图所示：
因此
故 
.
以上方法是将函数化为空间三点间的距离和，再利用三点呈直线时距离和最小的性质解题, 其应用广泛, 应熟练掌握.
例2 求函数
的最值.
解： 令
有
又
因此
可看成是直线系
和椭圆
在第一象限相交直线在轴上
的截距,可得,
以上是利用函数的截距的性质来解题的，可以求形如
的函数最值, 可以把
当作是变量, 即令
, 方程
一般表示一条曲线, 则
可以当作是
的直线在纵坐标轴上的截距, 因此截距的最值也即是函数的最值.“数形结合”解题方法应用非常广泛，在有些题型中，给出的函数并不能直接利用图形解题，但是我们可以通过 “构造法”将函数进行转换，从而解题.
例3 已知实数x，y满足不等式组
求函数
的值域．
解： 由解析几何知识可知所给的不等式组表示圆x2＋y2＝4的右半圆域(含边界)，
可改写为
，把z看作参数，则此方程表示过定点P(－1，－3)，斜率为z的直线系．
那么所求问题的几何意义是：求过半圆域x2＋y2≤4(x≥0)内或边界上任一点与过点P(－1，－3)的直线斜率的最大、最小值．
由图显见过点P和点A(0,2)的直线斜率最大，
.
过点P向半圆作切线，切线的斜率最小．
设切点为B(a，b)，则过点B的切线方程为ax＋by＝4.
又B在半圆周上，P在切线上，则有－a－3b＝4，
又a>0，解得6因此
3.
综上可知函数的值域为，5.
本例是将目标函数化为两点连线的斜率，再利用图形通过求圆的切线斜率来进行解题的，这一形式比较特别，在审题过程中只要想到数形结合一般比较容易获得解题思路，但准确的结论还需要进行认真仔细的代数运算.
小结：在数学学习和解题过程中，要善于运用数形结合的方法来寻求解题途径，制定解题方案，养成数形结合的习惯.解题时先想图，用图形来帮助解题.熟练应用数学结合法能起到事半功倍的效果,带给我们想不到的解题思路，大幅度的减少计算的工作量.
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