定义域中的位置变量与实际变量
把形如y=f[g(x)]的函数叫做复合函数，其中y=f(u)，u=g(x)，xÎA，uÎD，当x在u=g(x)的定义域A内变化时，u=g(x)的值在y=f(u)的定义域D内变化，变量y与x通过变量u建立了一种函数关系，y=f(u)=f[g(x)]称为复合函数，其中x称为自变量，u称为中间变量，y称为因变量。这类概念是函数概念理解的重要内容，也是难点之一。其中求复合函数的定义域问题一直困扰着同学们，大家搞不清楚求定义域时，到底是求x的值还是u得值，往往搞错。但若能引入位置变量和实际变量，则问题理解会清晰明了，本文对此类问题中的三种题型的求解思路作一剖析，旨在帮助大家轻松解题。
一． 已知
的定义域，求
的定义域
分析：设函数
的定义域为D，这里的x为位置变量，指
号里面的变量，不管用哪个变量来表示，都是
，这里
，即
，此处的x就是实际要求的变量，解不等式
，得
，A为
的定义域。
具体解法是：若
的定义域是［a，b］，解不等式
，所得x即为所求的定义域。
例1.（2013年全国高考理理）已知函数
的定义域为
,则函数
的定义域为
A 
B 
C 
D 
解：此处位置变量x的范围为
，即-1＜2x+1＜0，解得，—1＜x＜--
应选B。
例2. （2008年江西高考文3）若函数
的定义域是
，则函数
的定义域是（ B ）
A．
B．
C． 
D．
解： 因为
的定义域为[0，2]，所以位置变量的范围就是[0，2]，即
满足，
但
故
。应选B.
二. 已知
的定义域，求
的定义域
分析：设
的定义域为A，实际变量
，g(x)即
中的x，为位置变量，由此求得位置变量的g(x)的范围就是函数的定义域，
，D为
的定义域。
具体解法是：已知
的定义域是［a，b］，即
，求g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。
例3．已知
的定义域为［1，2］，求f(x)的定义域。
解：因为已知
的定义域为［1，2］
则实际变量x的范围为
，
，
，即位置变量的范围为
。
即函数f(x)的定义域是
。
例4. 已知
，则函数
的定义域为______________。
解：设位置变量
，则
，知
＞0，
解得
＞4或
＜-4，其中
=
＜-4舍去。
即
的定义域为
三. 已知
的定义域，求
的定义域
分析：这里有两个实际变量，其中
中的x是第一个实际变量，设
的定义域为A，即第一个实际变量的范围
，由此得位置变量的范围
，这一位置的函数
的范围也是D，即
，解得x的范围，就是第二个实际变量的范围
，B为
的定义域。
具体解法是：已知
的定义域是［a，b］，即
，求g(x)的值域，得
，再由
，求得x的范围，为所求f(x)的定义域。
例5. 已知函数
定义域是
，则
的定义域是（ ）
A．
B. 
C. 
D. 
解：
，即f(x)的定义域[－1，4]
又
，解之
故应选A。
例6. 若函数
的定义域为
，则
的定义域为_________。
解：
的定义域为
，即
，由此得
即f(x)的定义域
，
解
得
，
即
的定义域为
。
附个人简历
关清波，男，1963年8月5日生，1984年7月咸阳师范专科学校数学系毕业，1990年7月陕西教育学院数学系毕业，本科学历，先后在陕西省兴平市西吴高级中学、南郊高级中学任教，2001年9月调入青岛崂山区第二中学任教至今，中学高级职称，先后在8种全国级刊物上发表文章15篇，其中在《语数外学习》发表两篇，《数理化学习》两篇，《中学数学研究》、《中学数学教与学》、《中学生数理化》各一篇，《中学生学习报》五篇，《数学学习辅导》、《数学学习报》、《学习方法报》各一篇，参与编写《优化设计全程复习》（数学）五册，任主编、副主编。编著《魔法数学·集合与简易逻辑》，任主编。编著《魔法数学·函数》，任主编，共七部。
