周期函数的学习“五问”
函数思想是高中数学的一种重要思想,它贯穿着整个高中数学的学习内容.周期性是函数的重要性质之一,也是高考中的热点问题.由于教材中关于周期的概念内容讲述不多,学生们在学习的过程存在不少的误区.笔者依据自己的教学心得,归纳出学习周期函数时需要弄清楚的“五问”,供同学们学习参考.
1.周期定义中需注意哪些?
教材中周期的定义:一般地,对于函数,如果存在一个非零常数,使得当取定义域内的每一个值时,都有那么函数就叫周期函数,非零常数叫做这个函数的周期.如果不加特别说明,周期一般都是指函数的最小正周期.从定义出发需注意以下几点:
(1) 定义中自变量x的任意性,即等式对于定义域中的任意恒成立.
例如对于都成立,但不是的周期,因为当时,.
(2) 定义中“”指的是自变量只要并且至少要增加到,函数值才能重复取得.
例如对任恒成立,但不能说是的周期,因为而,所以
2.为的周期,一定是函数的周期吗?
不一定.由等式可知:都在函数的定义域中,当时,,当时,,所以函数定义域的两端至少一端是无界的,由此可知为的周期,不一定是函数的周期,如当时,无意义,所以就不是的周期.
3.周期函数是否一定有最小正周期?
不一定.例如=C(C为常数),对于任一非零常数,都有所以为函数的一个周期,但不存在最小正周期.又如狄里克雷函数也没有最小正周期.
4. 求周期的常用方法有哪些?
求周期常用的方法有:定义法,公式法,图象法.
例1 求的周期.
解:(定义法)
所以
例2 求的周期.
解:(公式法)所以
例3 求的周期.
解:(图象法)由的图象可知:
求周期的几个常用结论:
(1)若(或),则=2|a|;
(2)若,,则=2|a-b|;
(3)若,,则=2|a-b|;
(4)若,,则=4|a-b|.
5.函数的周期性怎么证?
周期性的证明是比较难的问题,一般利用定义采用反证法的方法加以证明.
例4 求证的最小正周期是.
证明:可知是的一个周期.
假设存在一个非零常数使得即取时,则因为所以而所以的最小正周期是.