借助“点圆”巧解题
某些数学问题的解法, 常常有依赖于设计一个合适又恰贴的辅助问题. 辅助问题就好似一条“船”、一座“桥”. 当有些数学问题看来不可解 (或解决很难且繁)时, 可通过设计一个辅助问题, 常能把陷入“山穷水尽疑无路的此岸”从困境中载到“柳岸花明又一村的彼岸”. 本文初探一个精典的辅助问题:把“点”视作“点圆”在解题中的妙用.
1 涉及直线与直线类型
例1 求和两直线
都相切，且过点
的圆的方程.
解析 容易验证点
在直线
上。所以可把点
看作点圆，其方程是：
设所求圆的方程为：
(
为常数)。
即 
………… (1)
其圆心
,半径为
.
是方程(1)表示的圆的切线.
,化简解得
.
将
代入庁程(1) 便得所求圆的方程是:
.
评注 该例由于两直线是互相平行的, 因而
只有一解. 而且此种方法与常规解法差异不太明显. 若两直线不是互相平行的, 其情况又如何?
例2 求和两直线
都相切，且过点
的圆的方程.
解析 容易验证点
在直线
上.
所以可把点
看作点圆，其方程是：
设所求圆的方程为：
(
为常数).
即 
………… (2)
其圆心
,半径为
.
是方程(2)表示的圆的切线.
,化简解得
,
.
当
时，将
代入庁程(2) 便得所求圆的方程是:
.
当
时，将
代入庁程(2) 便得所求圆的方程是:
.
评注 由于该例两直线是互相不平行的, 因而
有两解. 而且此种方法与常规解法可以说差异十分明显. 若与常规解法相比，不仅简洁而且思路流畅，让人真有“奇思妙想”、“拍案称绝”之感.
2 涉及点与圆类型
例3 求过点
且与已知圆
：
切于点
的圆的方程.
解析1(常规思路) 所求圆与已知圆切于点
，则所求圆圆心在已知圆圆心
与切点
连线上。所求圆圆心又在线段
的垂直平分线上，从而可求出所求圆的圆心及半径, 进而写出所求圆的方程 
.
解析2(非常规思路) 可把点
看作点圆:
.
设所求圆的方程为 
(
为常数).
把
代入上所设圆的方程可解得
，从而写出所求圆的方程
.
评注 经过两个解析对比分析,可以说非常规解法远远优于常规解法。这也充分说明把“点”视作“点圆”这种非常规思路是十分巧妙，其解法非常可取的.
3 涉及直线与抛物线类型
例4 求与抛物线
相切于点
，且半径等于
的圆的方程.
解析 
点
在抛物线
上.
过点
与抛物线
相切的直线方程是:
, 即 
.
可把点
看作点圆，其方程是：
设所求圆的方程为：
(
为常数).
即 
………… (3)
则有(3) 式表示的圆的半径为:
.
,
. 解得
将
分别代入方程(3), 得所求圆的方程:
.或
.
例5 已知圆
的圆心在直线
上，且与抛物线
相切于点
，试求圆
的方程.
解析 
点
在抛物线
上.
过点
与抛物线
相切的直线方程是:
, 即 
.
可把点
看作点圆，其方程是：
设所求圆的方程为：
(
为常数).
即 
………… (4)
则有(3) 式表示的圆的圆心
,
圆心
在直线直线
上.
. 解得
.
将
代入方程(4), 得所求圆的方程:
.
评注 结合例5和例6, 我们发现解决此类型问题的方法，虽然都是利用把“点”视作“点圆”这种非常规思路，但对结论还是要结合具体题目来充分讨论，以防漏解.
4 涉及直线与椭圆类型
例6 已知圆
的圆心在直线
上，且与椭圆
相切于点
，试求圆
的方程.
