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函数思想在高中数学解题中的应用

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热度0票  浏览2次 时间:2020年12月07日 13:09

在高中阶段中函数思想是其中的一项重要思想之一,对自然界中两个相关量之间的变量关系进行了表述,在高中数学解题中有着重要的应用,能够有效提升同学们的数理逻辑思维,促进同学们构成良好的认知结构。《语数外学习》杂志社官方网站+i.s i u3ZZ

1.利用函数思想解答不等式问题

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在不等式问题的解答过程中具有对应函数正负区间、单调性以及零点等问题,函数思想的运用能够有效解决这一问题,达到良好的解题效果。《语数外学习》杂志社官方网站#mG)Ql_v

例题:现假设有a,b,c∈R,同时a,b,c的绝对值都小于等于1,据此证明ab+bc+ca+1≥0.《语数外学习》杂志社官方网站t*Vp y} };EJ El

解题分析:在这一题目的解答过程中直接解答起来同学们会不知从哪里入手,由此可以对题目中的条件构造函数,将对ab+bc+ca+1≥0的证明利用函数进行求解,这种解题方式的运用能够有效提升同学们的解题效率。《语数外学习》杂志社官方网站hO9xn5K ZcZ

在这一题目的解答过程中对题目中的条件进行分析,构造函数f(a)=ab+bc+ca+1,能够看到f(a)表示的是关于a的一次函数,其中a的取值为在-1,0,1,因此在求证过程中只需要得证f(-1)≥0且f(1)≥0,即能够证明f(a)≥0.《语数外学习》杂志社官方网站$^\ U t5n;k;qBm

设f(a)=ab+bc+ca+1,已知f(a)表示的是关于a的一次函数.

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从题目中能够得到a,b,c∈[-1,1],因此有f(1)=b+bc+c+1=b(1+c)+(c+1)=(b+1)(c+1)≥0,《语数外学习》杂志社官方网站!\Yz*Ofa/B Q

同时有f(-1)=-b+bc-c+1=-b(1-c)+(1-c)=(1-b)(1-c)≥0,

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因此能够得到f(a)在[-1,1]范围内恒为非负数,所以能够得到《语数外学习》杂志社官方网站Q#{"f*q`

ab+bc+ca+1≥0,得证。《语数外学习》杂志社官方网站0h fnKX9d

2.运用函数思想解方程《语数外学习》杂志社官方网站'hLb^ FJ R ^9Y

方程是高中数学的重要工具,也是重要的知识模块,函数与方程之间有着千丝万缕的联系,运用函数思想能够有效解方程。《语数外学习》杂志社官方网站7w-~ v*ll)V

例题:解方程(x2-x+1)5-x5+4x2-8x+4=0《语数外学习》杂志社官方网站7c I!vqL6Ig1lh

解题分析:这一方程属于一元5次方程,对高中生而言难度较大,由此可以对其进行变形之后解答,运用函数思想进行解答。

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可以将(x2-x+1)5-x5+4x2-8x+4=0方程通过变形之后得到

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(x2-x+1)5+4(x2-x+1)=x5+4x,《语数外学习》杂志社官方网站 \ n/U4L:Oh1Yy d

从题目中的条件能够看到函数f(t)=t5+4t在R上为单调递增,同时满足f(x2-x+1)=f(x)《语数外学习》杂志社官方网站!t M-{ @+S

因此能够得到x2-x+1=x,即x=1.由此能够得到原方程有唯一实数解为x=1.《语数外学习》杂志社官方网站D5s(M_&D S/f e

例如,现有一不等式x2+mx+3>4x+m恒成立,其中m属于区间0,4],据此求解x的取值区间。针对这一题目的解答,常规的解题方式是首先将不等式两端化简移项,之后求解求解x的取值范围,这种解题方式难以取得较快的效果。《语数外学习》杂志社官方网站@ ~`y'kL Q\!h2k

由此可以采用函数法解题,充分利用利用二次方程的实根分布,《语数外学习》杂志社官方网站(gtF`w@8i:D^"T

3.在数列中运用函数思想《语数外学习》杂志社官方网站+?8Go%p` ep

等差数列、等比数列等是一种具有特定联系的函数,函数解析式即其中函数的解析式。根据函数思想可以结合自变量获得离散数值,将数列含义、通项与等差、等差等比数列等知识与函数之间建立联系能够有效促进题目的解答。《语数外学习》杂志社官方网站nmM0Ls r

例如现有一等差数列{an},公差为d,d=(an-ap)/n-p,分析其几何意义,可以将其表示为每一项点所在直线的斜率。由此可以将等差数列中的求和公式《语数外学习》杂志社官方网站)~l[4}W:f*tB*N"m

Sn=na1+1/2n(n-1)d转换为《语数外学习》杂志社官方网站A8Zy1pr

Sn=1/2dn2+(a1-1/2d)n,《语数外学习》杂志社官方网站k1{`lkT9MJ

如果d≠0,这一不等式即可表示为n的二次函数。《语数外学习》杂志社官方网站 K$X_G%bu&wj

4.利用函数思想解生活中的实际问题

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高中数学的具体运用之一是最优化问题,在计算应用、数值换算等层面上均涉及到最优化问题,具体的实际运用方式主要有采购问题、生产成本、路程公里计算等,数学习题解答过程中具有一个或者多个变量,同学们分析过程中较为抽象,在实际最优化解题过程中需要综合考虑多种因素,与实际问题之间具有较大的差异,利用函数思想能够有效解决这一问题,对题目中的各个量进行有效分析,有效分析自变量与因变量之间的关系,快速解题。讲过题目转化为C=(x-1)m+(x2-4x+3)>0,以m作为自变量构造函数,并且区间在[0,4]上,同时处于连续状态,因此在解答过程中要求保证在区间两端大于零,据此通过函数思想的运用,最终得出x∈(-∞,-1)U(3,+∞)。《语数外学习》杂志社官方网站s9ji v)j%h X

通过以上的分析能够看到,在高中数学习题的解答过程中运用函数思想能够有效促进题目的解答,充分反映题目中各个量之间的关系,对题目中的相关条件建立联系,从而提升同学们解题效率的提升,运用数学语言表达题目中各个量之间的关系,是高中数学解题中的重要解题思想之一,具有重要的应用价值。

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