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高中数学解题中的变式训练

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热度0票  浏览4次 时间:2020年12月07日 13:09

高中数学有不少比较抽象的知识,题型也是灵活多变,因此就要求学生具备一定的灵活应变能力与推理能力。在高中数学的解题联系中,变式训练有着重要的作用,它是高中解题的重要练习方式。变式训练能够使学生更好地理解抽象的数学知识,促进学生的解题能力与逻辑推理能力的提升,并培养学生多样化的解题思维。

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一、变式训练的概念《语数外学习》杂志社官方网站%?n)Q KHhO M }

变式训练是一种思维训练的有效模式,它是由利用构造一系列变式的方法来创设暴露思维障碍的情境,并展示解决问题的思维过程,数学问题的结构和演变过程以及知识发生、发展过程而形成的。《语数外学习》杂志社官方网站)ww*Na/l

二、高中数学解题中的变式训练《语数外学习》杂志社官方网站1\i'o N}4I1d]3X

变式题的本质在于增设对标准题的干扰因素,并要求学生求解时再转化为标准题的模式,从而还原问题的本质并逐步摆脱干扰因素。变式训练的干扰因素主要有以下三个方面:《语数外学习》杂志社官方网站Lt ~9PP*^G!p%f8i2tY

(一)表述改变而本质不变《语数外学习》杂志社官方网站F9^t {k.Hv4{

例三:已知两定点 A-60)、B20),P点(xy)为一动点,∠APB P与点BA所成的角,如果∠APB 恒为直角,则P点的轨迹方程为。

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变式一:过点 A-60)的动直线 l1 与过点 B20)的动直线l2 垂直,求垂足 的轨迹方程。

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变式 2:已知两定点 A-60)、B20),若动点 满足 PAPB,求点 的轨迹方程。《语数外学习》杂志社官方网站\2d)J.e-[

变式一与变式二只是表述的语言不同而已,但是知识背景与原例题是一样的。学生在解题时只要抓住P在以线段AB为直径的圆上就可以,变式2还可以一题多解,在求解时利用向量垂直的坐标运算,从而有助于提高学生的思维能力并实现知识间的有效统一。

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(二)问题改变而题设不变

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例四:求一点 P在椭圆=1 上,且两个焦点与点 P的连线互相垂直。《语数外学习》杂志社官方网站\&w3VY;_*hH7L

变式 一:椭圆=1 的两个焦点为F1F2,点P为一动点,且位于椭圆上,如果∠为钝角,那么横坐标在P点的取值范围为。《语数外学习》杂志社官方网站a3NJ'd2U7u~+}B

 

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图一《语数外学习》杂志社官方网站A/G#JkR$Y7A`L

通过原题我们可以发现,不管是锐角还是钝角,直角始终都是作为参照的,因此这道题最为简单的解法就是几何方法。首先我们以线段 F1F2 为直径,以原点 为圆心,如图一所示作圆与椭圆相交,ABC四点为其焦点。因为直径所对的圆周角为直角,∠ 为直角的情况就是当ABC四点与点P重合时。∠ 为钝角时则是当点P位于椭圆上弧CD或者弧AB上时。同理当∠ 为锐角时,点P的位置我们也可以推测出来,因此得出(- 3 )就是点P横坐标的取值范围。《语数外学习》杂志社官方网站LT?]o ]

为了进一发散学生的思维,可以引导学生归纳出椭圆+ =1 的两个焦点 F1F2 为直径的圆与该椭圆的交点情况。椭圆的焦距我们设为 2c,可以得出当c时,有四个交点,当c=b 时,有两个交点,当cb时,没有交点。

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变式二:F1F2为椭圆 +=1 的两个焦点,P点位于椭圆上,如果PF2垂直于PF1,问m的取值范围。《语数外学习》杂志社官方网站TKiT:BwT n+|f G;g

我们的解题过程如下,要想让PF2垂直于PF1,只需要椭圆与以 F1F2 为直径的圆存在焦点就可以,换句话说就是椭圆的短轴长要等于或者小于椭圆的焦距,也就是bc,因此得出1。变式题的改变核心在于增加解题的难度和环节,改变问题的设问形式,但同时保持问题的本质不变,在这一过程中教师可以和学生来共同参与变式题的改变。《语数外学习》杂志社官方网站5a LC1Z4k2y @([{a

变式三:F1F2分别为椭圆 +=1 的左、右两个焦点,椭圆上有一点P,如果F2F1以及 P分别为直角三角形的三个顶点,那么轴与点P的距离为( )。

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A.  B.3 C. 9  D. 

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我们的解题过程如下,这道题因为不确定哪个角为直角而具有很大的开放性。如果∠F1PF2为直角时,椭圆与该圆无焦点,当∠F2PF1或者∠F1PF2为直角时,轴与点P的距离为

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(三)同时改变问题与题设《语数外学习》杂志社官方网站D{@'ko(sT

例四的变式 4:双曲线-=1 的两个焦点为 F1F2,点P在双曲线上,且 PF1PF2,求点 到 轴的距离。《语数外学习》杂志社官方网站!MC,u OV

我们用双曲线来代替原题中的椭圆,的纵坐标为±很容易求得,所以就是我们所求的距离。《语数外学习》杂志社官方网站PR_NRQ5m

我们对以原题为基础对学生进行变式训练,可以充分体现新课程的教学理念,提升学生的思维能力,挖掘学生的潜能,培养学生的创新能力。而教师为了让学生更好地领略数学的魅力,帮助学生融会贯通所学的知识,在对学生进行变式训练时要多搜集变式的题源,优化教学设计,有意识的引导学生变化中探究不变的本质,在不变的本质中发现变化的规律,从而激发学生的数学学习兴趣,使学生体会到数学学习的乐趣。《语数外学习》杂志社官方网站2o9i b6z,{0?8M[

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