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用“心”巧解直线与圆问题

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热度0票  浏览2次 时间:2020年12月28日 11:45

直线与圆是高中数学的一个重要内容,从近几年的高考试题来看,涉及到直线与圆的问题较多,且同学们出错的频率较高,其主要原因是同学们没把直线与圆的位置关系理顺,为了解决这个问题,结合多年的教学实践,将方法归纳为:从心入手,巧解直线与圆问题。下面我以直线与圆的位置关系为背景的试题加以探讨。希望对同学们的学习有所帮助。《语数外学习》杂志社官方网站tnU-eP;pr+{

 

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一、直线与圆相切问题

.` Iz/JXt8le0

 2019年浙江卷)已知圆的圆心坐标是,半径长为,若直线与圆相切于点,则

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分析:解决直线与圆的相切问题,简捷和通用的方法利用圆心到直线的距离

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直线与圆相切《语数外学习》杂志社官方网站@DU j.r vwz3J

圆心到直线的距离等于半径

o^N&s8O1B(cuSJ0

即:

h;kqF&n,a:obJ0

《语数外学习》杂志社官方网站c`G5D^%lyUb

'w*uE+Os FB:S6^0

 《语数外学习》杂志社官方网站l ?&b{X7]

二、直线与圆相交问题《语数外学习》杂志社官方网站$P7n*B lCAIB

2  已知直线过点,当直线与圆有两个交点时,求其斜率取值范围

i^M+N `uj6hD0

分析:直线与圆相交,则圆心到直线的距离小于半径,即利用圆心到直线的距离求出斜率的取值范围

1KU)S(mC%b"Rqf_0

:圆的圆心,半径

| MDfYSaJ0

   由题意知直线  的斜率存在,《语数外学习》杂志社官方网站'^9U"|e4j1LlU)H9k1t

  直线  的方程可设为,即《语数外学习》杂志社官方网站eP'in+\.zP

  直线与圆有两个交点《语数外学习》杂志社官方网站!|FC$`"?0c8x2[

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}{ U-C$Q+F0

(2018年全国1卷)直线与圆相交于两点,则《语数外学习》杂志社官方网站!G(],ZX8x6J3f

分析:已知直线与圆相交,求弦长,主要是利用弦长的一半、弦心距、半径构成的直角三角形求解《语数外学习》杂志社官方网站H\){'_i&B%l

解:的圆心的坐标为,半径为《语数外学习》杂志社官方网站Rp\3b%rQ.E7qs

     圆心到直线的距离为

8^T/x.q'RN0

     

/AlNo^&du0

 

^y"x4fp@(M0

三、直线与圆相离问题《语数外学习》杂志社官方网站 h!I @ ]z9i,b:Q,Ygw

4  圆上的点到直线的最小距离是    (    )

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分析:圆上的点到与该圆相离的定直线的距离的最值问题,可转化为圆心到该直线的距离,然后通过加减圆的半径来求得圆上的点到直线的距离的最值《语数外学习》杂志社官方网站-loMR;CW

:∵   圆的方程可化为

&@i%[#h C^*G0

   其圆心为,半径为《语数外学习》杂志社官方网站/Sj1~m|y.Vp

∴   圆心到直线的距离《语数外学习》杂志社官方网站.bo iF5R"S$G%Q`P

  圆上的点到直线的最小距离为

:UH-Y0K,qq7B"L[0

故填

D(txpDXV @I0

四、切线问题《语数外学习》杂志社官方网站8{,oY"s"ZHu~Y

5  圆与圆的公切线有且有(    )条《语数外学习》杂志社官方网站9c2V'pzE-|@ c3B

 A       B        C         D   

1Nk(?l'eXh;F0

 

8u'j f?9Oxq$_0

分析:公切线的条数与两圆的位置关系有关,两圆位置关系取决于圆心距与两圆半径的大小

SK*O$Z$~0

:将两圆化为标准方程分别为: 

1B(vG$vRK0

Sa7H(l5^4[v)g.q0

因为圆心距《语数外学习》杂志社官方网站o6g6Fld

所以两圆相交,其公切线有且仅有2条,故选B《语数外学习》杂志社官方网站)W1_Dlj9w4~ B3t:`

6  从直线上的点向圆引切线,则

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切线长的最小值为______

Au"?8`#?@Y[9zZ0

分析:要使切线长最短,就必须使圆心到直线的距离最大即可《语数外学习》杂志社官方网站w0{4X]L-h

:当过圆心的直线与直线垂直时,圆心到直线的距离最小,《语数外学习》杂志社官方网站k${!@v$qK

即距离为,所以切线长的最小值为《语数外学习》杂志社官方网站sse:}c`e2Hw

【习题演练】《语数外学习》杂志社官方网站+d2Jj[){mv @$_

1、若直线

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2、若直线与圆相交于两点,且

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3、已知是直线上的一动点,是圆的两条切线,是切点,若四边形的最小面积是2,则

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4、已知圆的方程为,点在直线上,线段为圆的直径,则的最小值为______ TAG: 北大核心 论文代写 论文投稿 文章发表 语数外学习官网 杂志征稿 职称评选

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