用“心”巧解直线与圆问题
直线与圆是高中数学的一个重要内容,从近几年的高考试题来看,涉及到直线与圆的问题较多,且同学们出错的频率较高,其主要原因是同学们没把直线与圆的位置关系理顺,为了解决这个问题,结合多年的教学实践,将方法归纳为:从心入手,巧解直线与圆问题。下面我就以直线与圆的位置关系为背景的试题加以探讨。希望对同学们的学习有所帮助。
一、直线与圆相切问题
例1 (2019年浙江卷)已知圆的圆心坐标是,半径长为,若直线与圆相切于点,则
分析:解决直线与圆的相切问题,简捷和通用的方法就是:利用圆心到直线的距离
解:直线与圆相切
圆心到直线的距离等于半径
即:
又
二、直线与圆相交问题
例2 已知直线过点,当直线与圆有两个交点时,求其斜率的取值范围
分析:若直线与圆相交,则圆心到直线的距离小于半径,即利用圆心到直线的距离<求出斜率的取值范围
解:圆的圆心,半径
由题意知直线 的斜率存在,
直线 的方程可设为,即
∵ 直线与圆有两个交点
<1
故<<
例3 (2018年全国1卷)直线与圆相交于两点,则
分析:已知直线与圆相交,求弦长,主要是利用弦长的一半、弦心距、半径构成的直角三角形求解
解:圆的圆心的坐标为,半径为
圆心到直线的距离为
三、直线与圆相离问题
例4 圆上的点到直线的最小距离是 ( )
分析:圆上的点到与该圆相离的定直线的距离的最值问题,可转化为圆心到该直线的距离,然后通过加减圆的半径来求得圆上的点到直线的距离的最值
解:∵ 圆的方程可化为
其圆心为,半径为
∴ 圆心到直线的距离
圆上的点到直线的最小距离为
故填
四、切线问题