三次函数的考点知识解析
利用导数研究函数的单调性、极值、最值是高考的热点，要求会求函数的单调区间，会讨论含参数的函数的单调性，已知单调性求参数的取值范围，还有关于极值、最值、不等式、恒成立和存在性等综合问题，甚至高考压轴题中常见的包含指数型函数和对数型函数等函数问题，常常转化为三次函数问题，关键就是解决某些三次函数问题，其他问题迎刃而解，进而有必要结合导数等方法研究三次函数的定义、单调性、对称中心、极值、最值、切线、图象和性质，体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性，感受导数方法的优势和体会数学自身发展的一般规律。
一、定义：
定义1. 形如
的函数，称为一元三次函数，简称三次函数，
；
定义2. 三次函数的导函数为二次函数:
，我们把
,叫做三次函数导函数的判别式。
二、三次函数图象与性质的探究
1. 三次函数
的单调性
一般地，当
时，三次函数
在
上是单调函数；
当
时，三次函数
在
上有三个单调区间.
分析：
，判断三次函数单调性，转化为二次函数不等式问题，相应的二次方程
的判别式
。
2. 三次函数
的对称中心
三次函数
是中心对称曲线，对称中心仍在该曲线上，且其坐标为点
，此点的横坐标是其导函数的极值点.
证明：方法一：假设三次函数
关于点
对称，
充要条件是对曲线上任意一点
，有
恒成立，
即：
+
，
整理得，
，
据多项式恒等对应系数相等，可得
且
，
从而三次函数是中心对称曲线，且由
知其对称中心仍然在曲线上，对称坐标为
；
方法二：
，
令函数
，则函数
是奇函数，其图象的对称中心为
，
故函数
图象的对称中心为
，且该点
在三次函数曲线上.
方法三：设
使
是奇函数，则
，
化简得：
，由于
，
，即
.故函数
图象的对称中心为
，且在三次函数曲线上.
方法四：
图象的对称轴方程为
，所以
，
故
，
，当
时，有
，
所以
，所以函数
图象的对称中心为
，且在三次函数曲线上.
方法五：
，
所以
图象上的切线斜率最小值
，不妨设
，
二次函数
在区间
上单调递减，函数
的图象在
是上凸的；
二次函数
在区间
上单调递减，函数
的图象在
是下凸的.
在
处导数取最小值的点为
是函数
的拐点（横坐标为
的根且图象凹凸性改变），即为函数
的对称中心.
说明：该性质应用待定系数法、配方法、构造法、积分法、微分法”证明，同理可探索出三次函数不是轴对称曲线。
|
|
| ||
图像 |
|
|
|
|
| 三实根 | 两实根 | 一实根 | 一实根 |
与 | 三交点 | 两交点 | 一交点 | 一交点 |
单调性 | 在 | 在 | ||
极值 | 有两个极值，一个极大值 | 无极值 | ||
3.三次函数
的图像和性质：
三、与三次函数有关的常见问题和相关结论
1.三次方程
根的问题
（1）当
时，由于不等式
恒成立，对应三次函数在
上单调递增的，所以原方程仅有一个实根；
（2）当
时，由于方程
有两个不同的实根
，不妨设
，由
可知，
为函数的极大值点，
为极小值点，且函数
在
和
上单调递增，在
上单调递减.
结论：①若
，即函数
极大值点和极小值点在
轴同侧，图象均与
轴只有一个交点，所以原方程有且只有一个实根；
②若
，即函数
极大值点与极小值点在
轴异侧，图象与
轴必有三个交点，所以原方程有三个不等实根；
③若
，即
与
中有且只有一个值为
，所以原方程有三个实根，其中两个相等（即有二个不等实根）.
2.三次函数
的极值问题
若函数
在点
附近有定义，如果对
附近的所有的点，都有
(或
)，则称函数
在点
处取得极大值（或极小值），称点
为极大值点（或极小值点）；
（1）当
<
