解析高中数学教学中培养学生建模素养的途径

数学建模是从数学视角对现实问题、情境进行抽象，运用数学符号、公式构建数学模型，通过数学模型求解，解决问题的一种重要思路。高中数学中涉及的模型较多，包括函数模型、数列模型、不等式模型等，教师应积极总结经验，加强教学研究，剖析经典例题，逐渐提升学生的建模素养。

一、注重知识渗透，培养建模意识

高中数学教学中，教师一方面注重建模知识渗透，引导学生认识高中数学中的模型，讲解建模的步骤与方法，使学生积累一定的建模知识。另一方面，教师可精选例题，从学生熟悉的模型出发，鼓励学生尝试着建模，提高学生建模的成就感，实现学生建模意识的提升。分析可知，学生对函数知识较为熟悉，因此，教师可讲解函数模型的建立过程，使学生感受建模过程，找到数学建模乐趣。

例1，已知某旅游景点预计2017年1月份起前x个月的旅游人数的和p（x）（单位：万人）和x间的关系满足p（x）=x（x+1）（39-2x）（x∈N*，且x≤12）。其中第x个月的人均消费额q（x）（单位：员）和x的关系近似为：q（x）=

（1）2017年第x个月旅游人数f（x）（单位：人）和x的函数关系式；《语数外学习》杂志社官方网站H
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（2）2017年第几个月旅游消费总额最大，最大为多少元？

分析：（1）问知道前x个月的和，求第x个月人数和x的函数关系，显然可知f（x）=p（x）-p（x-1），根据应已知条件便可构建出对应的数学模型。（2）需要根据模型，研究函数关系得出。《语数外学习》杂志社官方网站dO2zZ0i#A
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（1）当x=1时，f（1）=p（1）=37；当2≤x≤12，f（x）=p（x）-p（x-1）=-3x2+40x，将x=1也满足此式，因此，f（x）=-3x2+40x（x∈N*，且1≤x≤12）

（2）根据题干及第（1）构建第x个月旅游消费总额模型为：g（x）=，化简得：g（x）

=，求旅游消费总额g（x）。1）当1≤x≤6时，求导可得g’（x）=18x2-370x+1400，当1≤x≤5时，g’（x）＞0，当5＜x≤6时，g’（x）＜0，即，g（x）max=g（5）=3125万元。2）当7≤x≤12时，g（x）=-480x+6400为减函数，当x=7时取得最大值，g（7）=3040万元，显然第5个月时旅游消费总额达到最大，最大值为3125万元。

二、依托经典例题，加强建模训练《语数外学习》杂志社官方网站_8GVcb
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建模素养的培养是一个缓慢的过程，需要教师长久的坚持。教学实践中，教师应围绕高中数学的重点模型，创设相关的问题情境，不断对学生进行训练，使学生在训练中积累经验，总结建模的技巧，不断提高建模水平。数列模型较为抽象，难度较大，教师可依托经典例题，对学生进行针对性训练。

某公司2018年起职工工资由基础工资、房屋补贴、医疗费构成（其他费用另外计算，这里暂不考虑）。其中基础工资为每人每年10000元，同时，考虑物价因素，以后每年按照10%的速度增长。房屋补贴为每人每年400元，按照职工到公司的年限，每年按照400元递增；医疗费每年每人1600元固定不变。公司现有职工5人，以后每年均新招5人入职。

（1）以2018年为第一年，求第n年该公司支付工资总额y（万元）和n间的函数关系。《语数外学习》杂志社官方网站t&@^9njDy@

（2）在每年发放的职工工资总额中，房屋补贴和医疗费用总和能否超过基础工资的20%？《语数外学习》杂志社官方网站 q$H(@$um g

分析：（1）中根据题目描述可知，基础工资符合等比数列模型。房屋补贴的理解难度较大，计算时需要应用数列求和知识。讲解该题目时，教师可适当进行点拨，帮助学生构建正确数学模型，促进学生建模能力的提高。解答（2）时可建立比差法模型进行分析、解答。《语数外学习》杂志社官方网站F(j4^#Z2\6w:Ou

（1）第n年职工人数为5n，则基础工资为y1=5n（1+）n万元，医疗费用总额为y2=5n×0.16=0.8n万元。《语数外学习》杂志社官方网站w)a#S:X6n

房屋补贴为y3=5×0.04+5×0.04×2+5×0.04×3+···+5×0.04×n=0.1×n（n+1）。

∴y=y1+y2+y2=n[5（1+）n+0.1（n+1）+0.8]《语数外学习》杂志社官方网站JV+XC%E9@_v!`

（2）根据题意及（1）的结论，设y=5（1+）n×20%-0.1（n+1）+0.8=[10（1+）n-（n+9）]《语数外学习》杂志社官方网站1m|
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