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分离参数法在高中数学解题中的应用

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热度0票  浏览6次 时间:2022年2月16日 13:49

分离参数法是高中数学解题方法中重要的方法之一,因其在解题过程中具有易于操作和易于理解等特点,已被广大高中生灵活应用于相关问题中.为此,针对高中数学习题中出现的一类含参不等式恒成立问题、存在性问题和方程有解的问题,应用分离参数法将该类问题转化为求解具体函数的最值问题,求解过程表明该方法有效的避免了繁琐的分类讨论,简化了计算量,从而,提高了高中生解题的正确率和分析解决问题能力. 

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关键词:分离参数法;恒成立;存在性;方程有解

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中图分类号:G 633.6            文献标志码: A

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1 分离参数法

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分离参数是通过将两个变量构成的不等式(方程)变形到不等号(等号)两端,使不等号(等号)一边是参数,另一边是在某个区间上的具体的函数,通过这个具体函数的取值范围得出参数取值范围.应用该方法的关键在于能成功的借助导数等知识将分离后的函数的取值范围解出,一般地,已知(其中)的关系,求解的取值范围,通常用到以下结论:《语数外学习》杂志社官方网站 U9L `\ h}.u

结论1  不等式恒成立,只需不等式恒成立,只需《语数外学习》杂志社官方网站/B[+c2A,Y,J&kv-I

结论2  不等式存在解,则;不等式存在解,则.

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    结论3  方程有解,则求解的范围等价于求解的值域.《语数外学习》杂志社官方网站H Mb(eAmy

2.分离参数法在解题中的应用《语数外学习》杂志社官方网站V;xX iXG3I~3B

1(2017年厦门模拟)已知函数,要使得函数 恒成立,求实数的取值范围.

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析:要使 恒成立,其进一步为上恒成立配方得,根据二次函数的性质可知,当时函数单调递增,时函数单调递减,即,,所以

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2. (2014年全国高考课标卷II理科第12)设函数,若存在的极值点满足,的取值范围?

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解析:,根据题意可知得解得,满足,即满足,只需,,解得《语数外学习》杂志社官方网站 K8k Z:h7IlHt6h

3.已知是实数,函数如果函数在区间上有零点,求的取值范围.

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解析:根据已知可将原问题转换为上有解,分离参数得,由结论3可得,只需求函数在其定义域上的值域即可,易求得,故的取值范围.

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由上述三道例题可以看出,分离参数法在求解含参不等式恒成立问题中具有一定的优越性,其避免了直接求解所考虑得分类情况不全面和计算量较大等缺点,通过导数与分离参数法二者的结合可以使解题思路更明了,当然,任何方法都有其局限性,本文主要目的还是教会学生解题通法,提高综合运用知识解决相关问题能力。

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