一道原创压轴填空题的命制与思考
在2017年版2020年修订的《普通高中数学课程标准》一书学业水平考试与高考命题建议一节中提到“命题应注重对学生数学学科核心素养的考察，注重数学本质，通性通法，淡化解题技巧.”【1】因此在命题中，应特别关注学生数学学习过程中思维品质的形成，关注学生学数学的能力，秉承着以上原则，笔者参加了2020年成都市金牛区原创题命题大赛，本文将结合一道压轴填空题的命制过程，与同行们一起交流在试题命制中如何反应数学本质的核心概念以及如何对学生数学学科核心素养水平的达成进行评价
命制题目：
是空间中四条直线，且任意三条不在同一平面内，
与
所夹锐角分别为
，且满足
，则下列说法正确的是___________
①
②
的最小值为
③若双曲线
和双曲线
的离心率分别为
，则
和
必为共轭双曲线
④等腰三角形的三个角不可能为
答案：①②④
一、命制过程
1. 背景与原型材料
背景1：【2020·江西九江一中月考】已知三棱锥
中，
，
，
，若该三棱锥的四个顶点在同一个球面上，则此球的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
背景2：高考中的平方思想
背景3：共轭双曲线的性质：共轭双曲线离心率平方的倒数和等于1
2. 题干的命制思想与背景的关联
背景1和背景2是整道题的思路与来源，该背景中可以将三棱锥这一基本模型放置在我们更为熟悉长方体中，进而进行分析与解答.在六大数学核心素养之一直观想象水平二要求学生能够掌握图形与图形，图形与数量之间关系的基本方法，能够借助图形探索数学规律，因此在命制题干时笔者从长方体这一基本模型出发，将“体对角线平方和等于长宽高平方和”这一基本数学事实通过一些数学运算法则或性质（比如移项，两边同除一个非零实数等式仍然成立）抽象成为角的正弦之间的平方关系进而考察学生是否能够通过想象对复杂的数学问题进行直观表达，还原到长方体中解决问题
3. 选项的命制依据和考察目标
①的命制基于数学运算和逻辑推理两大数学核心素养考察了“不等关系”这一基本的数量关系.要求学生能够运用两角和与差的正余弦公式，同角三角函数基本关系式以及平方差公式等对题干的表达式进行简单的三角恒等变换，并利用余弦函数的单调性判断①的正误，进一步提高数学运算的能力
②的命制是选择了数学情境作为数学学科核心素养的载体，要求学生能在该背景下处理综合的复杂问题，能够有用图像探索解决问题的思路.运用数形结合转化与划归等数学思想将抽象数学符号还原为长方体模型并结合基本不等式解决最值问题.
③的命制加深了解析几何与代数之间的联系，考察了“共轭双曲线，离心率”等基本概念，并通过逻辑推理能够在比较复杂的情境中把握事物之间的关联，要求学生能够比较已知的平方关系与共轭双曲线中离心率关系的异同进而进行判断
④的命制将空间角问题转化为平面角问题，考察了学生对于反证法的掌握程度,希望同学能提炼出解决一类问题的数学方法，进一步提高逻辑推理能力
二． 解法呈现
①正确，
思路分析：
②正确，理由如下
可构造满足题意的长方体如图所示，其中
为
，
为
,
为
,
为
设
其中
显然满足
③错误.由
可以得到双曲线
和双曲线
的离心率满足
，因此取特例
，
④正确.若
满足条件则必有
，则原等式变形成为
化简可得
，即
.此时
与
为锐角矛盾.
三． 试题的其他变式方向
情境是高考评价体系的重要载体，因此可以直接给出“直四棱锥”这一数学背景，让同学们在直四棱锥中借助逻辑推理和直观想象选出正确番号
变式：在直四棱锥
中，其中
，
下列说法正确的是___________
①
②
的最小值为
③
④等腰三角形的三个角不可能为
解析：本题四个选项显然都是正确的.注意到在这样一个显然的长方体模型中，对于①③的判断是简单的，虽然不宜直接证明但学生可以通过取两组特殊值进行验证，这也是选填题的常见做法，其背后蕴含着逻辑推理从特殊到一般的推理.另外学业质量水平将核心素养水平化为三个水平，水平三要求学生能够在综合的情境中，发现其中蕴含的数学关系，用数学的眼光找到合适的数学对象，用恰当的语言进行表达，并运用数学的思维进行分析，能够借助图形探索解决问题的思路，能够在得到结论的基础上得到新命题，因此本变式可以作为母题的拓展练习让学生提出.
其他变式思路：
的处理方式都是借助长方体中的直角三角形，因此变式的出发点并不一定要从正弦的平方和入手，可以将题干中
，改成
，甚至
，也欢迎各位同行进行尝试
四． 命题反思
1. 选填压轴题命制应具有创新性
中国高考评价体系【2】指出高考评价体系主要由“一核”“四层”“四翼”三部分内容组成.“四翼”作为高考的考察要求明确提出了评价应具有基础性，综合性，应用性，创新性，不同的试题会有针对性得考察重点，而选填压轴题是高考“服务选才”这一核心功能得重要载体，因此压轴选填题的命制应偏向“创新性”，激发学生创新意识何创新思维即设置新颖得试题呈现方式和设问方式，促使学生主动思考，善于发现新问题，找到新规律，得出新结论
2.选填压轴题命制应体现数学学科素养
中国高考评价体系说明【3】指出“学科素养主要用于在复杂情境中解决复杂问题”，具有更强的综合性，因此在试题命制时每个选项都应该体现核心素养的不同水平，让不同学业水平的学生都能有所收获
3.选填压轴题命制应紧扣课程目标
选填压轴题试题命制不应过分追求难度，应围绕提高学生的“四基四能”，让不同层次的学生都能有自己的突破口，，体现数学学科的“人文关怀”
