解析高中数学轨迹方程的常用解法

高中数学教学的过程中曲线的轨迹方程问题是解析结合的重要问题，对符合一定条件的动点轨迹方程进行求解。从本质上来讲，需要对题设中的几何条件进行利用，促使其关系的转化。此种类型的问题不仅仅需要学生掌握相关知识的定义、性质等基础知识，同时需要学生具有一定的推理和运算能力，灵活的运用数学思想。因此，在对高中数学轨迹方程进行求解的过程中存在很多方式，在此对其常用解法进行分析。《语数外学习》杂志社官方网站&D3u1X*] L,ncF_

一、借助直接法求解数学轨迹方程

在解题的过程中，对平面几何和解析几何的知识进行利用，对其图形的性质进行分析，对动点的规律以及满足的条件进行寻找，使用坐标对等式进行代替，化简得出相应的曲线方程，求解出动点的轨迹方程，此种方式叫做直接法。直接法求解的过程中，需要按照一定的步骤进行，促进问题的有效解决。例题：已知圆C₁的方程为x²+（y-2）²=1，定直线l的方程为y=-1，动圆C和圆C₁外切，并且和直线l相切。（1）求解动圆圆心C的轨迹M的方程。（2）直线l’和轨迹M相切与第一象限的点P，过点P作直线l’的垂线恰好经过点A（0,6）并且和轨迹M相较于点Q，Q和P不是同一个点，求解直线PQ的方程和弦|PQ|的长。

解析：（1）设动圆圆心C的坐标是（x，y），动圆半径为R，所以|CC₁|==R+1，并且|y+1|=R，所以=|y+1|+1。因为圆C₁在直线l的上方，所以动圆C的圆心应当在直线l的上方，所以y+1＞0，所以=y+2，整理可以得出x²=8y，就是动圆C圆心的轨迹方程。

问题（2）主要是考察直线和抛物线的相关内容，根据题目中的已知，进行假设，求解出直线的方程以及P点的坐标，最终对答案进行求解。

直接法解答的过程中，需要建立相应的坐标系，设点的坐标，并且根据条件列出关系，进行方程的转化，得出相应的轨迹方程。《语数外学习》杂志社官方网站2bS_;p]$u1u

二、借助定义法求解数学轨迹方程

高中数学动点轨迹方程求解的过程中，需要对学习过的圆、椭圆、双曲线以及抛物线等定义进行利用，根据其定义直接求解出动点的轨迹方程，此种方式叫做定义法。在定义法求解的过程中，在题目中需要对定点和定直线以及两定点距离之和或者差的值进行点出，或者能够利用几何知识内容分析能够得出相关的条件。例题：动圆M过定点P（-4,0），并且和圆：x²+y²-8x=0相切，求解动圆圆心M的轨迹方程。《语数外学习》杂志社官方网站afX*M\3W] ~6t#}

解析：根据题意能够得出||MC|-|MP||=4，由此说明点M到定点C和P的距离之差的绝对值是个定值，所以点M的轨迹是双曲线。因为2a=4，所以a=2，c=4，所以b==，所以动圆圆心M的轨迹方程是=1。

在轨迹方程求解的过程中，对相关的曲线定义进行利用，引导学生对定义法的定值条件进行发现和利用，帮助学生对问题进行解答。《语数外学习》杂志社官方网站?.`l k Oa'][-\1W i

三、借助代入法求解数学轨迹方程

如果动点M（x，y）随着已知曲线上的动点N进行运动，那么可以将转化之后的动点N的坐标代入已知曲线的方程或者满足的几何条件，进一步求解得出动点M的轨迹方程，此种解题的方式被称为代入法。一般在出现两个或者两个以上动点的情况时，采取此种方式，对问题进行解答。例题：已知抛物线y²=x+1，定点A（3,1），B是抛物线上的任意一点，点P在线段AB上，并且BP：PA=1：2，当点B在抛物线上进行变动时，求解P点的轨迹方程，并且说出属于哪种曲线。

解析：假设P（x，y），B（x₁，y₁），根据题意，P点分线段AB的比==2，所以得出x=，y=。求解得出x₁=，y₁=，又因为点B在抛物线y²=x+1上，所以其坐标也适合抛物线方程，所以（）²=+1，整理P点的轨迹方程为=，并且其轨迹属于抛物线。

另外，除了以上三种解题方法以外还有参数法、交轨法等多种方式。如交轨法是在轨迹方程求解的过程中，会出现两动曲线交点的轨迹问题，可以通过方程组求解的方式求出交点的坐标，之后对其参数消除得出轨迹的方程。在交轨法求解轨迹方程的过程中，交点的坐标并一定非要求出，只要能够消去参数，得出点坐标之间的关系即可。《语数外学习》杂志社官方网站 fl)TuE;GmUea&io

四、结语

在高中数学学习的过程中，轨迹方程问题是一个重要的问题，在对其进行解答的过程中，涉及到的知识内容和方面比较多，在对其求解的过程中其方式也是多种多样。因此，在轨迹方程问题解答的过程中需要根据题意选择合适的解题方式，保证轨迹方程的求解。在求解的过程中，需要对动点进行全面性、多层次的分析，对其隐含的条件进行发掘，同时注意同解变形的情况，避免出现重复和遗漏的情况。同时对轨迹和轨迹方程进行区分，如果求解动点的轨迹，需要对轨迹方程、轨迹名称形状特征以及位置特点等进行说明。