一种求解导数中参数取值问题的方法
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针对近几年高考数学新课标卷中的函数与导数相结合所考察的一类热点和难点问题，即已知含参数不等式在某个区间上恒成立，求解参数的取值范围的问题，给出了一求解该问题的新方法——洛必达法则法，并应用该方法求解了新课标卷中三道高考导数压轴题，从而，表明该方法的适用条件和起到简化计算作用，进一步拓展了高中生的数学知识层面.
1 洛必达法则[1]及含参不等式恒成立问题的处理方法
定理 若函数
和
满足以下条件：
(1) 
及
；
(2)在点
的某去心邻域内
与
均可导且
；
(3)
；
则
=
.我们把这种在一定的条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式
型或
型等值的方法称之为洛必达（
）法则.
如果
时仍属
型，且
和
均满足定理中的条件，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止.即
=
.
已知不等式在给定区间上恒成立，求参数取值范围问题是导数应用中的难点问题，该问题的处理方法通常有以下两种：一是分离参数法求最值，即先分离参数，然后求分离后所得不含参数的新的函数，即
或
在已知区间上恒成立的问题,则只需求解
或
，但在求解函数
的最值问题中,往往遇到
是超越方程，从而最值就不易得出；二是当参数不宜分离时，可直接通过求已知函数最值建立关于参数的不等式问题，比如：要使
在给定区间上恒成立，可求得
的最小值
，令
即可求出参数的范围，但该方法局限性不仅需要对参数进行分类讨论和讨论的标准又难以想到，而且求解过程较为繁琐.
为此,下面通过2010年、2016年和2017年的高考新课标卷的三道试题，来说明洛必达法则在解高考题中的具体应用步骤、适用的前提及注意的环节．
2 洛必达法则在高考题中的应用
收稿日期:2019-5-6;修回日期:2019-x-x
作者简介:米永强(1989-)，男，汉族，陕西延安人，硕士，中教一级，研究方向：基础数学及智能算法．
例1（2010年高考理科数学新课标卷，第21题）设函数
.
(1)若
,求
的单调区间; (II)若当
时,
,求
的取值范围.
解:（II）当
时，
， 
,均有
；
当
时，
等价于
,构造辅助函数
，则
，再令
则
，
，由此，可知
在
上单调递增，
；所以
在
上为单调递增，
；所以
，故
在
上为增函数.由洛必达法则可知，
故
.
点评：
不易求解，两次运用洛必达法则便可解出极限.
例2 （2016年高考文科数学新课标卷Ⅱ，第21题）已知函数
.（Ⅱ）若当
时，
，求
的取值范围.
解：当
时，
可转化为
对所有
恒成立.令
，则
，显然
在
恒成立，所以
在
上单调递增，所以
时，
，由洛必达法则可知 
，所以
的取值范围是
.
点评：当
时，
可转化为
，要按照常规方法求解的话，先要构造函数
，然后对实数
要进行分类讨论，再利用导数的方法求解，这样做的缺点不仅是实数
的取值不好划分，而且求解过程较为繁琐.
例3（2017年高考文科数学新课标Ⅱ卷，第21题）设函数
.
（1）讨论f(x)的单调性；（2）当
时，
，求a的取值范围.
解：（2）当
时，
等价于
，显然成立；
当
时，
可转化为
对所有
恒成立.令
，则
，再令
，求得
显然
，则
在
上单调递减，从而，
所以
则
在
上单调递减，于是，当
时，
，由洛必达法则可知
，所以
.
点评：当
时，则
可转化为
，难在最值不易求解，应用洛必达法则只需求导一次便可解出.
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