瞄准维度，对应转化，求解三类几何概型的概率应用问题
在概率教学中，笔者发现很多学生对有关几何概型的概率应用问题经常毫无思绪，屡次出错。就其原因，并不是因为几何概型难以理解，而是学生缺乏利用已知条件建立适当几何模型的能力，即转化化归能力的缺失。本文以案例的形式，详细解析了如何瞄准维度，对应转化，求解三类几何概型的概率应用问题的策略和方法。
1、转化为一维几何概型求长度或角度之比
案例1取一根长度为
m的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段的长度都不小于
m的概率是多少?
分析 从每一个位置剪断绳子,都是一个基本事件,剪断位置可以是长度为3 m的绳子上的任意一点,基本事件有无限个,而且每一个基本事件的发生都是等可能的,因此事件的发生概率只与剪断位置所处的绳子段的长度有关,这就可以对应转化为一维的几何概型,求长度之比.
解 记事件
为“剪得两段绳长都不小于
m”,把绳子三等份,于是当剪断位置处于中间一段时,事件
发生.由于中间一段的长度为
m所以事件
发生的概率为
.
案例2平面上画了一些彼此相距
的平行线,把一枚半径
的硬币任意投掷在这个平面上,求硬币不与任何一条平行线相碰的概率.
分析 不失一般性,我们考察某两条平行线之间的情形:先在这两平行线之间作一条垂线.因为硬币的位置由其中心决定,硬币的中心在这个垂线上运动,每个位置对应一个基本事件,容易知道,基本事件有无限个,且等可能的发生,因此事件的发生概率只与硬币的中心所处的线段长度有关,这可以对应转化为一维的几何概型,求线段长度之比.
详解略.
2、转化为二维几何概型求面积之比
案例3 甲、乙两人约定
时到
时之间在某处会面,并约定先到
者应等候另一人一
刻钟,过时即可离去,求两人能会面的概率．
分析 涉及到两人到达的时间,考虑引入两个变量表到达约会地点的时间,它们等可能地在
时到
时之间取值,每一组取值都表示一个基本事件,因此事件发生的概率只与两个变量决定的区域的测度有关,可以对应转化为二维的几何概型。
解 用
和
分别表示甲、乙两人到达约会地点的时间,则两人能够会面的条件是
,在平面上建立直角坐标系如图所示，则
的所有可能结果是边长为60的正方形,而可能会面的事件由图中的
阴影部分所表示，这是一个几何概型问题,故所求概率为:
3、转化为三维几何概型求体积之比
案例4 在棱长为
的正方体
内任取一点
,则点
到这点
的距离小于等于
的概率是多少?
分析 点
在正方体内每个位置都能等可能地运动到，每个位置都表示一个基本事件,且基本事件有无限个,因此事件的发生概率只与点
所决定的空间区域的体积有关,可以对应转化为三维的几何概型,Q求体积之比.
解 如图,设点
到点
的距离小于等于
为事件
,
事件对应的测度是以点
为球心、以
为半径的球位于正方体内的部分的体积,即
个球的体积,故所求概率为:
案例5 甲、乙、丙三人定于
时到
时之间在某地约会,已知他们三人都不会违背约定,但是他们到达会面地点的具体时间不确定,求甲第一个到而丙第三个到的概率.
分析 本题实际是案例5的推广.涉及到三人到达的时间,考虑引入三个变量到达约会地点的时间,它们等可能地在
时到
时之间取值,每一组取值都表示一个基本事件,因此事件的发生概率只与三个变量决定的空间区域的测度即体积有关,可以对应转化为三维的几何概型.建立空间直角坐标系,利用体积比来求概率.详解略.
反思与总结：
1、几何概型的基本特征
试验的基本事件是无限个，每一个基本事件发生的可能性是等同的，且在某个区域内均匀随机分布，所以几何概型的概率与区域的形状、位置无关，只与该区域的测度有关.这一测度在一维中表现为长度或角度，在二维中表现为面积，在三维中则表现为体积.
2、几何概型的概率公式
3、求几何概型概率的一般步骤
（1）首先,定维度，即判断事件是一维还是二维、三维的几何概型问题.
（2）接着,先确定试验的全部结果和事件
构成的区域(长度、角度、面积、体积) ,若涉及到二维、三维的几何概型问题,先设出二维或三维变量, 再列出试验的全部结果和事件
分别满足的约束条件,作出两个区域, 最后计算两个区域的面积或体积.
（3）最后代入几何概型的概率公式求解.
4、变式教学，举一反三
在区间
中随机地取出一个数，求这个数与
的和大于
的概率。
变式1 在区间
中随机地取出两个数，求这两个数之和小于
的概率.
变式2 在区间
中随机地取出三个数，则三个数平方之和小于
的概率.
结束语：
几何概型是古典概型在无限空间里的推广，只要能立足古典概型的思路，将实际问题中的几何概型问题对应转化为三个维度的几何概型，熟悉以上案例的模型，很多几何概率应用问题便可迎刃而解.
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