解析高考题中的切线问题
直线和曲线相切的位置关系是一种特殊的位置关系,是课堂教学中的重点和难点,同时也是高考考查的重要内容。教师应该对高考题中的切线问题进行探究,重视高考复习中切线问题的求解训练,引导学生掌握各种类型切线问题的解题思路,提高学生的解题能力。
一、高考题中的切线证明问题
在数学高考试题中,切线问题是常见的问题。解答在此种类型题目的过程中,学生需要对已知条件进行分析,对切线进行证明。例题:如图,在平面直角坐标系xoy中,已知直线l:x-y-2=0,抛物线C:y2=2px(p>0)(1)若果直线l过抛物线C的焦点,求抛物线C的方程。(2)在抛物线C上存在过与直线l对称的相异两点P和Q,求证:线段PQ上的中点坐标是(2-p,-p),并且求解P的取值范围。
分析:此题在求解的过程中,需要对抛物线的焦点进行确定,之后带入求解直线方程。在问题(2)的证明过程中,需要对直线和抛物线的位置关系进行证明,之后根据相关的中点坐标公式进行求解证明。根据位置关系确定数量关系,最后得出取值范围。
解:(1)因为直线l:x-y-2=0,所以l和x轴的交点坐标是(2,0),所以抛物线的焦点坐标是(2,0),所以p=4,所以得出抛物线的方程是y2=8x
(2)设点P(x1,y1)、Q(x2,y2)所以得出,进行化解得出,所以KPQ=,又因为,P、Q关于直线l对称,所以KPQ=-1,所以,因为PQ中点在直线l上,所以=2-p。所以线段PQ的重点坐标是(2-p,-p)。
因为中点的坐标是(2-p,-p),所以,关于y2+2py+4p2-4p=0有两个不等根,所以△>0,所以求解得出p∈(0,)。
点评:在证明此题的过程中,需要证明直线和曲线的位置关系,之后求解相应的问题,对切线问题进行解答。
二、高考题中切线的几何性质
直线和曲线的相切问题是高考考查的重点问题,几何性质的运用和考查是其中的重要内容。因此,在对切线问题求解的过程中,需要充分利用几何性质,有效解答几何问题。
例题:如图,平面直角坐标系xoy中,已知以M作为圆心的圆M:x2+y2-12x-14y+60=0,以及在圆M上的点A(2,4)。
(1)设圆N和x轴相切,和圆M外切,并且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;
(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于点B、C两点,并且BC=OA,求直线l的方程;
(3)设点T(t,0)满足:存在圆M上的两点P和Q,使得,求解实数t的取值范围。
分析:问题(1)的解答过程中根据圆和直线相切确定圆心位置,根据两圆外切建立相应的等量关系对半径进行求解。问题(2)中对垂直定理进行运用,确定等量关系,对直线方程进行求解;(3)中利用向量和几何性质建立等量关系,求解问题。
解:(1)因为N在直线x=6上,设N(6,n),因为圆N和x轴相切,所以(x-6)2+(y-n)2=n2,n>0,又因为圆N和圆M外切,所以,|7-n|=|n|+5,得出n=1,所以圆N的标准方程是(x-6)2+(y-1)2=1。
(2)(3)题的解答略。
在解答(1)的过程中,需要利用直线和圆、圆和圆之间的位置关系、几何性质等,来对问题进行有效解答。
三、利用数形结合思想求解切线问题
高考例题解题中切线问题求解的过程中,需要对曲线的切线理论和相关的工具进行综合运用,同时借助相应的图形,利用图形对切线和曲线的位置关系进行观察,寻找合适的解题方式,有效解答问题。
例题:在平面直角坐标系xoy中,椭圆E:(a>b>0)的离心率是,焦距是2。
(1)求椭圆E的方程。
(2)如图,动直线l:y=k1x-交椭圆于A、B两点,并且C四椭圆E上的一点,直线OC的斜率是k2,并且k1k2=,M是线段OC延长线的一点,并且|MC|:|AB|=2:3,圆M的半径是|MC|,OS、OT是圆M的两条切线,S、T是窃电,求∠SOT的最大值,并且求解最大值时直线l的斜率。
解析:(1)根据e==,2c=2得出a、b的值,求解出椭圆的方程。
(3)通过构建相应的方程组,对方程进行简化,利用韦达定理,进行求解。根据图中所示,设A(x1,y1)、B(x2,y2)构建方程组,根据题意△>0,并且x1+x2=,根据题意得出圆M的半径。又因为k1k2=,所以,所以得出直线的方程。组建相应的方程,根据题意进行相应的计算,当t=2时,∠SOT取最大值为,并且斜率是±。
点评:在解答题目的过程中,需要考虑椭圆标准方程以及其几何性质,考虑直线和圆的位置关系,构建相应的函数图像,根据题意解答切线问题。
高中数学教学的过程中,直线和曲线的切线问题是课堂教学的重要内容,其内容较为抽象,学生学习和解题的过程中,存在一定的困难。因此,在复习的过程中,教师应当引导学生掌握解题思路和方式,提高学生的解题能力。