解决最值问题的三种最基本方法
最值问题是中学数学的重要题型之一，它的综合性较强，题型多样，解法灵活，涉及知识面广泛。在高考中，常以一些基础题，小综合的中档题，或一些难题的形式出现，几乎每年的高考试题中都有考查。解决最值问题，经常用到基本不等式、消元法与换元法、导数法。本文结合两个典型例题进行分析和探讨，体会上述三种最基本方法的解题思路和解题技巧。
典型例题1：已知
求
的最大值？
思路一分析：利用基本不等式
，将
替换
的位置，进而寻求最值。
点评：利用基本不等式求最值，可以概括为“凑定和”与“凑定积”的问题，思路一灵活运用对数运算的性质，达到“凑定和”的目的。
思路二分析：先利用消元法，将
代入，转变为一个变量的函数，再利用换元法转变为二次函数，利用二次函数的图像与性质求最值。
点评：消元法是求最值问题常用的方法之一，是学生所熟悉和乐于使用的方法。换元法中要特别注意中间变量的取值范围。二次函数在定区间上的最值问题一般借助二次函数图像解决。
思路三分析：利用换元法，将对数转化为指数，再利用基本不等式求最值。
点评：必修一第二章对数函数是学生学习的难点，思路三的切入点是将对数转化为指数，达到化难为简的效果，换元后因
为定值这一条件联想到基本不等式。
典型例题2：设
求
的最小值？
思路一分析：巧用1的代换，利用基本不等式，凑出定积的形式，进而求最值。
点评：这一思路体现了整体代换的思想，巧妙运用
这一条件构造基本不等式。
思路二分析：用消元法转化为一个变量的函数，化简后函数较复杂，考虑求导法求最值。
点评：导数是高中阶段求最值一个极其常用的方法，研究复杂函数的单调性一般利用导数法。
学生误解原因：连用两次基本不等式，在不等式变形过程中，等式成立条件不一致。
对于
，第一个不等号成立条件是
，第二个
不等号成立条件是
总结反思：（1）两个例题中的思路一均是采用基本不等式求最值，这是求最值的最常用方法，运用基本不等式求最值，必须满足“一正、二定、三相等”这三个条件，缺一不可。一正是指各项均为正数，二定是指各项的和或积为定值，三相等是指不等式两边的等号是否能取到，以及等号能取到的条件。有些题目可直接用公式解决，有些题目须进行必要的变形，灵活运用拆项，凑项，凑系数等技巧，不管用什么样的技巧，都可归结为“凑定积”和“凑定和”的问题。
（2）两个例题中的思路二均是采用消元法，这也是解决最值问题的通用方法，它体现了数学上减少变量的思想。若消元后可转化为二次函数或换元后是二次函数的形式，则可利用二次函数的图像与性质求最值；若消元后是复杂函数，则可考虑求导法，利用函数的单调性求最值。
本文通过两个简单例题介绍了中学数学求最值的三种最基本方法，大部分题目都可用这三种方法解决，当然还有许多其他方法。一道题目里面有时也是几种方法并用，因此不能把它们割裂开来。
激活数学心智，提高解题的灵活性与思维的深刻性，绝不是通过几个题目的解答就可以奏效的，同学们在平时的学习中，只有长期的坚持研究，多层次、多角度地考虑问题，才能开阔自己的解题视野，提高自己的数学思维品质。
