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解答高中数学问题的几种常用方法

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热度0票浏览0次时间：2021年3月17日 09:57

数学解题思想贯穿高中数学的整体教学过程，在不同类型的数学题中，如不等式和等式转化关系、等差和递推转换关系、几何问题等都可以根据题目的差异选择不同的解题方法。常见的解题方法通常是通过整合题目条件，梳理数量关系，找出与之相对应的数学概念，继而选择合适的解题思路。本文总结几种常见的数学解题方法，能够广泛应用到数学运算、代数运算、函数问题和几何问题中，将复杂问题简单化处理，运用课本理论知识解决新问题。

一、数形结合法

这种方法主要应用了转换原则，将数量关系转化为图形，将图形关系转化为数量，或者数量关系和图形关系之间互相转换，以实现数形互补的作用。数形结合是通过对图形的直观进行分析，经过简单的推理运算，得出问题答案。数形结合的优势在直观、形象和具体。高中数学解题中的数形结合，经常适用于以下内容：实数和数轴上的点的对应关系；函数和图像对应关系；曲线和方程对应关系；以几何元素或几何条件所形成的概念，如，三角函数、复数等；所给的等式、代数式具有明显的几何意义。

例1，实系数方程x²+ax+2b=0的一个跟取值范围为[0,1]，另一根取值范围为[1,2]，则求的取值范围。

解析：

图1

如图1所示，令f(x)=x²+ax+2b,则结合题中条件，一根在0、1之间，另一根在1、2 之间，则满足：

f(0)>0，f(1)<0,f(2)>0,带入原式可得：

2b>0；

1+a+2b<0;

4+2a+2b>0.

则在图形上标示，可以看出这个不等式的解即为ΔABC内的所有点的集合。

则结合几何概念分析，相当于过点（a,b）和点D（1,2）直线的斜率。

则得出：

>K_AD=, <K_BD=1,则，的取值范围为[,1].

二、向量法

向量法是高中数学重要的解题策略，向量是代数和几何的共同研究对象，也是沟通代数和几何问题转化的桥梁，能够使代数问题和几何问题互相转化。运用向量解决问题时要善于运用向量的合成、平移和伸缩等变化，并结合向量的坐标运算加强数与形的结合思想。

例2，已知|a|=≧0;

|a|+|b|≧|a±b|,当a、b同向时，|a|+|b|=|a+b|,方向相反时，|a|+|b|=|a-b|，

|a||b|≧|a·b|,a、b共线时等号成立。

则求证：-1≦<1.

解析：

构造向量M=（a,-1）,N=（a,1）,M、N不同向或者反向。结合题中条件可得：

M N=|M||N|cosθ（θ为向量M、N的夹角），cosθ==；

考虑到向量不同向，所以-1≦<1。

三、换元法

高中数学中，在解决一些复杂的因式分解问题时，换元法是较为常用的解题方法之一，学生面对结构复杂的多项式，可以把其中某部分看做一个整体，用新元进行代替表达，这样可以使复杂的问题简单化，直观化，减少多项式的项数，降低因为结构复杂而带来的计算难题。换元法也可以称作变量替换法，换元之后，问题往往会变得更加简单，数量关系更加清晰，学生在做题的时候运用已经掌握的知识轻松解题。换元法的应用十分广泛，既可以解不等式，也可以解决函数问题。高中数学解题中的换元法通常分为两类：一类是整体换元：以元换式，另一类是三角换元，以式换元。

例3，求函数y=+的值域。

解析：

根据例3条件，可以看出x[0,1]，考虑到三角函数性质，设x=sin²α，α[0,],则这道题就变成了相对简单的求三角函数的值域问题。

Y=+=+=|sinα|+|cosα|

α[0,]

则y=+的值域为[1,]。

四、待定系数法

高中数学中，待定系数法主要用来求未知数，即用一个含有待定系数的新形式表示一个多项式，从而得到一个恒等式，再根据恒等式的特点得到系数满足的方程或者方程组，最后通过解方程得到待定系数，再找出待定系数所满足的关系式。利用待定系数法解题，通常是要求用给出条件求二次函数的解析式，遇到这类问题，通常的做法是：（1）给出三点坐标时，代入一般式：y-ax²+ba+c(a≠0);(2)已知抛物线顶点坐标和对称轴有关的最大、最小值时，代入顶点式：y=a(x-h)²+k(a≠0)

例4：抛物线的图像经过（0,0）和（12,0）两点，已知其顶点纵坐标为3，则它的函数关系式是什么。