ACT-R理论对三角函数给值求角问题的启示
一．问题的提出
很多学生在刚开始学习三角函数时，对于这种新函数的学习不能快速适应，并且难以进入状态，这种“排斥”会引发一系列的问题，导致学的不够扎实，理解不够深刻，所以在完成某些小问题时，就容易将知识混淆或者效率低下，甚至出错，从而出现了对数学的恐惧和厌倦心理.对于这样的问题，笔者从 ACT- R理论的得到启示，很多时候是学生的目标层级分解不够清晰，比如对于诱导公式的使用，学生比较熟悉六组诱导公式的直接使用，而对于公式的逆用——“给值求角”就不是那么信手拈来了，这个问题看似简单，可是学生在解决问题的过程当中，由于目标层级不够清晰，结果就不是那么显而易见了.
二．ACT-R理论概述
ACT-R（Adaptive Control of Thought，Rational）意即“理性思维的适应性控制”，该理论下有两类知识：关于“是什么”的陈述性知识和关于“怎么做”程序性知识，程序性知识是用来提取陈述性知识的信息块解决问题的方法，即“产生式”，产生式的“触发”，即问题的解决，需要有清晰的目标层级.如果解决一个问题视为一个任务，那么每一个任务都可以分解为一系列的子目标，而这些子目标又可以进一步分解为一系列更小的子目标.如果参与者解决问题时不能分解出明确的目标层级，就会导致子目标错位，从而会直接影响大目标的完成效率，甚至导致解决问题失败.因此，该理论将知识或者问题程序化的过程是非常有必要的，它对于数学问题的解决和学习具有一定的指导作用.
三．ACT-R理论对三角函数给值求角问题的启示
给值求角问题看似简单，笔者却在实际教学中发现学生在解决此类问题时无法做到快速高效，究其原因在于学生解决此类问题的会陷入以下误区：死记[0,2π]内的特殊角却容易忘记；画出三角函数图象或用三角函数线求角时，难以快速发现[π，π]内的角与[0，π]内角的三角函数值之间的区别与联系，从而难以判断出所求角的符号；对于特殊角的三角函数求角问题，受初中三角函数学习的影响，思维停留在只是求[0，π]内的角而无法准确写全所求的角；即使能正确写出[0,2π]范围内的角，却不能写全满足条件的所有角.
死记硬背并非学习数学的好方法，无法找到数学知识之间的联系，或是无法全面考虑问题，这些“丢三落四”是对知识点认识不到位的表现，ACT-R理论对此的启示是，这些问题都是学生目标层级分解不够清晰所导致的，若教师能帮助学生理清楚该知识的每个小点，即将知识点分解为更小的知识，就能降低知识点的难度，从而形成良好的解决方式，针对这样的问题，以下给出具体的目标层级，即解决此类问题的具体步骤：
1. 确定所求角的象限.根据三角函数定义下三种函数在各象限符号的判断，从而确定所求角的象限.
2. 找合适的第一象限角.所求角与锐角的三角函数值之间有一定的关系，若函数值为正，就可求出对应的锐角；若函数值为负，则由函数值的绝对值，求出锐角.
3. 根据所确定的象限，由诱导公式可以先确定[0，]的角：
若所求角为第一象限角，则结果为：；
若所求角为第二象限角，则结果为：；
若所求角为第三象限角，则结果为：；
若所求角为第四象限角，则结果为：；
4. 考虑所有满足条件的角.根据终边相等的角的三角函数值相等，所以需在[0，]的基础上将角扩展到整个定义域，即在上一步的结果加上.
四．步骤的应用
例：已知，求角.
分析：先求一个周期[0，]内符合条件的角，再在整个定义域上扩展.
1. 定象限.由可知是第二象限或第三象限.
2. 求锐角.若，则锐角 .
3. 求[0，]内的角.当为第二象限角时，结果为：.当为第三象限角时，结果为：.
4. 求满足条件的所有角.由[0，]满足条件的角可知：或.
五．小结
从以上的分析思考可以看出，ACT-R理论对数学教学的指导作用是显而易见的，本文是ACT-R理论中程序性知识目标层级分解在三角函数解题中一个小内容的应用，本质是诱导公式的逆用，却不易被发现，而具体的步骤能帮助学生在解决问题时有更为清晰的思路，可以加强学生对诱导公式的理解，提高解题的效率.从以上的分析和思考给我们这样的启示：第一，将复杂问题进行分解，就可以实现复杂问题简单化，更有利于学生学习和理解；第二，将数学问题程序化，对于学生模棱两可的问题，教师能给出具体的步骤，这样使得数学学习更加合理和高效.这样将一些模糊问题具体化、程序化的处理方法，使得学科的逻辑结构更为清晰，有利于学生学习者提高数学能力.
