巧构数学模型 妙解数学问题
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目前在学生数学核心素养的培养中，“重视动作技能，轻视数学思想内化，轻视数学问题解决技能内化”的现象是普遍存在的。德国一位教育家说过：“教学的艺术,并不在于教师传授的本领,而在于激励、唤醒、鼓励他的学生”，而现在的中学数学课堂中却存在“教师讲解多,学生思考少;不问不答多,研讨交流少;理论讲解多，鼓励创新少;……”等现象。要改变这种现象，这就要求教师在日常数学问题教学中,应当重视学生的追求新知、独立思考、创新思维与创新能力的培养.本文尝试就几个典型数学问题的解法剖析,说明在数学问题教学中如何从新的途径，去巧妙解决数学课堂存在的问题.
1 巧构距离模型，妙解数学问题
两点间距离是中学数学中一个重要的基础知识,研究引导学生巧构“两点间距离”的数学思维、数学方法解决数学问题,培养学生发散思维与能力、发展学生创新思维与创新能力大有益处.
分析 此题若用常规思维去考虑，学生会感觉找不到突破口，教师若能引导学生“对其中的常数进行适当分解,再充分联想的基础上进行巧妙构造”,问题就迎刃而解了.
简解 由
有
于是 
由此联想到两点间的距离公式.
即
为点
到点
与
的距离之和. 当
为线段
的内分点时
最小. 故
.
评注 构造法在高中数学解题中具有极强的“生命力”,若在教学过程之中教师能很好地利用
收稿日熬:
基金项目：四川省哲学社会科学重点研究基地——西华师范大学四川省教育发展研究中心项目:构建师范生与中小学教师现代学徒制模式的实践研究(CJF19024).
通讯作者简介:胡小平(1964 - ),男,四川绵阳人,副教授,研究方向:高等数学教育、数学课程与教学论、试题研究
第一作者简介:林习生(1982 - ),男,四川广元人,高级教师,研究方向:数学教育、学校行政管理、中高考试题研究
“奇思、巧构”这一思维方式定能收到事半功倍之奇效.该解法的关键是利用“巧构”将代数中有
条件的情况下，求函数的极值(最值)问题不等式转化为解析几何中“距离的最值问题”.解法浅显,直观性强,启发性颇深,用以拓展学生发散思维与能力、培训学生创新思维与创新能力大有益处.
2 巧构三角形模型，妙解数学问题
三角形是我们熟知的几何图形，它蕴含着正弦定理、余弦定理、面积公式等性质定理。苦在解决一些数学问题时，能根据题目条件(隐含条件),巧构出合适的三角形，然后借助三角形的性质或结论，不仅可以使问题的解决简捷巧妙，还可以开拓学生的思维，拓展学生的视野。
例2 解方程
分析 由于
可变形为
、
、
均为正实数，可以看作线段的长，巧构三角形(直角), 利用三角形的性质妙解此类数学问题.
简解 由于
可变形为
.
令
,则有
如图2，构造直角
,使
,则
.
在
上取
,作
交
于
点,作
交
于
点.
设
，
则
由
可得
.
解方程组
得
.
经检验 
是原方程的解.
评注 此解法是在奇思的基础上，巧构造直角三角形，然后应用勾股定理和相似形, 使之转化简单的方程组来解, 堪为妙解!此解法可以拓展去解:型如
的无理方程.
3 巧构函数模型，妙解数学问题
构造函数解决数学问题是教师在数学教学之中经常使用的方法,其基本目的是:通过构造适当的函数来转化复杂问题,以利用所构函数的图象与性质来帮助论证或求解学生面对的数学问题.
例3 解方程
(福州市高中数学竞赛题)
分析 若用常规方法求解, 则十分困难.若从方程的结构特征出发,充分联想题设条件所给的数(形)量关系,巧构函数,利用函数的性质妙解该类问题.
解 利用方程的结构特征可构造函数
,且
为奇函数
由方程
可知
即 
又显然是单调递增的函数
.解得
.
评注 此解法是在奇思的基础上，巧构函数，然后应用函数的单调性质,使之转化简单的方程来解, 堪为妙解! 可以说方法既简便又易用被接受,非常巧妙,令人回味无穷.
4 巧构数列模型，妙解数学问题
虽然现在数学试题涉及的数学问题越来越灵活多变，但是通过对试题的分析研究发现，对形如“
”或“
”(
为常数)形式的方程,可以构造数学模型巧妙求解。
例4 解方程
分析 由方程
可恒等变形为
,那么
、4、
成等差数列，设公差为
.则
,且
,从而问题得解.
简解 
,利用等差数列性质(设公差为
)有
.
那么
,
整理得 
.
,整理得 
.
由
解得
.又由
可知
,从而
.
方程
的解为
.
评注 对于题设中直接或间接出现形如
的数学题,可以利用的等差中项b作代换,从新的途径(巧构妙解)该类型数学问题.
5 巧构向量模型，妙解数学问题
由于向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”，运用它容易看到知识之间的内在联系和相互作用，为我们解决数学问题提供了更为广阔的思维空间。有些看似与向量无关的题目，可以通过引入向量，利用向量的运算法则与几何意义进行建模，转化为向量问题，避繁就简，且方法新颖.
例5 求证:
分析 本例是一个重要且常见的不等式,仔细观察其特点.从
联想到向量的数量积的坐标运算,从x12+y12联想到向量的模,因此可构造向量来证明:
证明 设
,由
得
评注 在此处利用了向量的性质：对于不等式
,当
与
共线时,
;当
与
同向时,
,这种方法既简便又易用被接受,非常巧妙,令人回味无穷.
6 巧构方程模型，妙解数学问题
有些数学问题表面上看难以求解，但如果我们创造性地运用已知条件，以已知条件为素材，以所求结论为方向，有效地运用数学知识，构造出一种辅助问题及其数学形式，就能使原问题在新的结构中显性化,从而获得简解。就能使问题在新的形式下获得巧妙解决
例6 已知
,求
的值
分析 若用常规方法求解, 则十分困难.充分联想题设条件所给的数(形)量关系, 可利用相关解析几何知识巧妙构造一个一元二次方程, 借助韦达定理来妙解该类问题.
简解 构造点
,则
、
两点均在圆
上.
直线
的斜率
。
设直线
的方程为
,将此方程代入
,化简并整理有
.易知
是上述方程的两根, 于是由韦达定理有
,同理
.
.
评注：对于此类数学问题，表面上看难以理解,但是我们创造性地运用已知条件,构造出一种辅助问题(一元二次方程),使得问题在利用方程的知识下简捷解决.
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