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解答高中数学问题的几种常用方法

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热度0票  浏览2次 时间:2020年12月07日 13:03

数学解题思想贯穿高中数学的整体教学过程,在不同类型的数学题中,如不等式和等式转化关系、等差和递推转换关系、几何问题等都可以根据题目的差异选择不同的解题方法。常见的解题方法通常是通过整合题目条件,梳理数量关系,找出与之相对应的数学概念,继而选择合适的解题思路。本文总结几种常见的数学解题方法,能够广泛应用到数学运算、代数运算、函数问题和几何问题中,将复杂问题简单化处理,运用课本理论知识解决新问题。

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、数形结合法《语数外学习》杂志社官方网站o j4@S1~#`

这种方法主要应用了转换原则,将数量关系转化为图形,将图形关系转化为数量,或者数量关系和图形关系之间互相转换,以实现数形互补的作用。数形结合是通过对图形的直观进行分析,经过简单的推理运算,得出问题答案。数形结合的优势在直观、形象和具体。高中数学解题中的数形结合,经常适用于以下内容:实数和数轴上的点的对应关系;函数和图像对应关系;曲线和方程对应关系;以几何元素或几何条件所形成的概念,如,三角函数、复数等;所给的等式、代数式具有明显的几何意义。

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1,实系数方程x2+ax+2b=0的一个跟取值范围为[0,1],另一根取值范围为[1,2],则求的取值范围。《语数外学习》杂志社官方网站._p2NPB*po)Q'}R5z

解析:《语数外学习》杂志社官方网站_ H0?4M2vI.v3D

 

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1

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如图1所示,令f(x)=x2+ax+2b,则结合题中条件,一根在0、1之间,另一根在1、2 之间,则满足:

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f(0)>0,f(1)<0,f(2)>0,带入原式可得:

&z/Upx*m-ws0

2b>0;

?A[5l%] ~9e+E.o0

1+a+2b<0;

UJ7fIR-A%Nl#O6\:q0

4+2a+2b>0.

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则在图形上标示,可以看出这个不等式的解即为ΔABC内的所有点的集合。《语数外学习》杂志社官方网站 w4^#?7w9j.v5T!PR

则结合几何概念分析,相当于过点(a,b)和点D(1,2)直线的斜率。《语数外学习》杂志社官方网站 P]*q1EI)]

则得出:

!a%f8Xs&V.z0

 >KAD=,   <KBD=1,则,的取值范围为[,1].

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、向量法

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向量法是高中数学重要的解题策略,向量是代数和几何的共同研究对象,也是沟通代数和几何问题转化的桥梁,能够使代数问题和几何问题互相转化。运用向量解决问题时要善于运用向量的合成、平移和伸缩等变化,并结合向量的坐标运算加强数与形的结合思想。《语数外学习》杂志社官方网站C B%o/I/G%c%_R^

例2,已知|a|=≧0;

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|a|+|b|≧|a±b|,当a、b同向时,|a|+|b|=|a+b|,方向相反时,|a|+|b|=|a-b|,《语数外学习》杂志社官方网站 }7\b3_n/H.RB4n.d

|a||b|≧|a·b|,a、b共线时等号成立。《语数外学习》杂志社官方网站.L0M v(~/@

则求证:-1≦<1.

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解析:

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构造向量M=(a,-1),N=(a,1),M、N不同向或者反向。结合题中条件可得:

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M N=|M||N|cosθ(θ为向量M、N的夹角),cosθ==《语数外学习》杂志社官方网站Ef4`;H~/J\

考虑到向量不同向,所以-1≦<1。《语数外学习》杂志社官方网站"o!l G]k2rQ O'B

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、换元法《语数外学习》杂志社官方网站"}Q&b%K2I0W

高中数学中,在解决一些复杂的因式分解问题时,换元法是较为常用的解题方法之一,学生面对结构复杂的多项式,可以把其中某部分看做一个整体,用新元进行代替表达,这样可以使复杂的问题简单化,直观化,减少多项式的项数,降低因为结构复杂而带来的计算难题。换元法也可以称作变量替换法,换元之后,问题往往会变得更加简单,数量关系更加清晰,学生在做题的时候运用已经掌握的知识轻松解题。换元法的应用十分广泛,既可以解不等式,也可以解决函数问题。高中数学解题中的换元法通常分为两类:一类是整体换元:以元换式,另一类是三角换元,以式换元。

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3,求函数y=+的值域。《语数外学习》杂志社官方网站V?w6F`1BV

解析:

y&KO/Z ~|2J*X0

根据例3条件,可以看出x[0,1],考虑到三角函数性质,设x=sin2αα[0,],则这道题就变成了相对简单的求三角函数的值域问题。《语数外学习》杂志社官方网站 T-F0u+XF

Y=+=+=|sinα|+|cosα|《语数外学习》杂志社官方网站 X6S0glC`E

α[0,]《语数外学习》杂志社官方网站3\:c g9x;F${4],CgB

则y=+的值域为[1,]。《语数外学习》杂志社官方网站E|nSpME+Rv!]j

四、待定系数法

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高中数学中,待定系数法主要用来求未知数,即用一个含有待定系数的新形式表示一个多项式,从而得到一个恒等式,再根据恒等式的特点得到系数满足的方程或者方程组,最后通过解方程得到待定系数,再找出待定系数所满足的关系式。利用待定系数法解题,通常是要求用给出条件求二次函数的解析式,遇到这类问题,通常的做法是:(1)给出三点坐标时,代入一般式:y-ax2+ba+c(a0);(2)已知抛物线顶点坐标和对称轴有关的最大、最小值时,代入顶点式:y=a(x-h)2+k(a0)

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4:抛物线的图像经过(0,0)和(12,0)两点,已知其顶点纵坐标为3,则它的函数关系式是什么。《语数外学习》杂志社官方网站UX`&}/KK

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4

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解析:该题利用待定系数法,有两种解题方法。方法一:《语数外学习》杂志社官方网站wU9?+ZAF\6IO

如图4,分析可知,根据抛物线的对称性,顶点坐标为(6,3),根据题中条件,抛物线图像过点(0,0)和(12,0),将两点坐标带入可得:0=a(0-6)2+3,可得:a=-,则所求的抛物线关系式为:y=-(x-6)2+3.

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方法二:设该函数关系式为:y=ax2+bx+c《语数外学习》杂志社官方网站)y7UJh|M0z/y

根据已知条件,将图像经过的两点坐标带入其中,可得:《语数外学习》杂志社官方网站TgU `N

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