平面向量的解题例谈
平面向量是高中数学重要的基础知识,概念、性质、定理较多,记忆与理解难度较大。新课改下,如何传授相关解题方法,使学生灵活应用平面向量知识,不断提高学生的解题能力,实现知识向能力的转化,是一线教师关注的重点。
一、向量线性运算解题方法
向量线性运算包括向量的加法、减法、数乘综合运算等,相关题目在各类测试中均有所出现。正确解答该类题目的关键在于理解概念,能够运用基底表示向量,因此,教学实践中,教师应引导学生脚踏实地,不可好高骛远,将基础知识搞清楚、弄明白,配合相关题目讲解,使学生切实地掌握向量线性运算本质,做到顺利、成功解题。
例1:如图1,平行四边形ABCD中,DC、BC的中点分别为点M、N,其中=c
=d,试用c、d表示、。
图1
分析:该题目考查向量线性运算,讲解该题目时,教师应引导学生认真观察图形,找到已知向量与要求向量的关系。同时,要求学生注意向量线性运算时,应注意搞清向量的方向。解题时根据题意,可用、作为基底表示、,计算得出向量系数,最后使用、表示、即可。
解题:由题意设=a,=b,∵M、N是DC、BC的中点,可得=b,=a
在△ABN和△ADM中,存在以下关系:
解上述公式得:a=(2d-c)、b=(2c-d),
∴=d-c,=c-d。
点评:平面向量线性运算类型的题目难度不大,解题时常使用基底向量表示平面内的任意向量,运用平行四边形或三角形法则进行运算,找到与基底向量间的关系即可。
二、向量坐标运算解题方法
向量坐标是向量的代数表示,其运算便转化成为代数运算,实现了数与形的统一。运用向量坐标运算可解决向量平行、判断共线、向量模等相关问题,因此,教学实践中,教师应注重向量坐标运算解题方法的讲解,使学生掌握向量坐标运算的过程,以及相关解题技巧。
例2:已知平面上的存在ABCD四点,坐标分别为A(1,0)、B(4,3)、C(2,4)、D(m,n),当m、n满足什么条件时,四边形ABCD为梯形。
分析:解答该题目时,应明确当四边形ABCD为梯形时边与边间的关系,而后使用向量的坐标运算进行计算,找到向量系数。显然四边形ABCD为梯形时上底、下底平行,考查了向量共线的知识,但两底并不确定,因此存在两种情况。
解题:根据题意,当四边形ABCD为梯形时满足或其中为实数,且>0,≠1,即满足以下关系式:
或
对上式整理得:m、n的取值条件为n=m+2(m<2,m≠-1)或n=-(m<1且m≠-1)
点评:向量的加法、减法及实数和向量的积均可通过坐标进行计算,将向量运算完全代数化。在解答相关题目时,应注重向量基本定理、共线定理的应用。
三、向量数量积运算解题方法
平面向量的数量积计算方法有两种:根据数量积定义计算,计算公式为:a·b=|a||b|cosθ,θ为向量a、b的夹角;根据向量坐标计算,计算公式为a·b=x1x2+y1y2,其中a=(x1,y1)、b=(x2,y2)。运用向量数量积可解答两个向量夹角、平面内两点间的距离、向量的模等。教学实践中,教师应注重讲解一些典型例题,传授相关的解题技巧,帮助学生深刻理解向量数量积知识。
例3:已知平面向量a、b,|a|=1,|b|=,且|2a+b|=,则向量a和a+b的夹角为()
A、 B、 C、 D、
分析:该题目看似简单,难度中等,主要考查学生能否灵活应用平面向量数量积相关知识。部分学生对平面向量数量积知识理解不深入,无法灵活转化已知条件,导致解题出错,因此,教师应注重板书详细的解题过程,帮助学生迅速找到解题突破口,提高该类题目的解题正确率。
解题:由已知条件可知|2a+b|2=4|a|2+4a·b+|b|2=7,|a|=1,|b|=,∴4+4a·b+3=7,因此a·b=0,因此,a⊥b(如图2所示)
图2
∴a和a+b的夹角为∠COA,则tan∠COA===,