人教版《方程的根与函数的零点》高中数学教学中问题情境的创设
所谓数学教学问题情境，是指通过具体数学问题引起的悬念或探索活动激起学生的求知欲望, 进而形成的一种教学情境。在高中数学教学中，问题情境的创设方法不胜枚举，而具体到实际教学过程中，我们往往出现问题情境创设单一，学生学习兴趣不能完全激发的局面。如何创设丰富有趣足够吸引学生，而又能彰显我们教学特色达到教学目标，做到点到为止、余味无穷，这样的问题情境值得我们深思。本文以人教版高中数学必修一教材中《方程的根与函数的零点》为课题，结合多种问题情境创设的方法对“零点的引入以及方程的根与函数零点间等价关系”进行问题情境设计。希望能予以教师工作者一些借鉴和启发。
（一）课前导入：变式激疑，设置悬念
课前布置学生完成求解方程
的实数根的任务，结合以前所学的一元二次方程求解公式法， 学生很快求解得到其方程实数根分别为：
，
。接着再给出变式练习：求解方程
的实数根。五次方程学生无法用公式来求解，对于这样的方程，学生一时无从下手。
（二）引入课题：追本溯源，探知入题
引导学生停下笔，静下心来听老师讲述方程求解的数学史。“在人类用智慧架构的无数座从未知通往已知的金桥中，方程的求解是其中璀璨的一座。虽然今天我们可以从教科书中了解各式各样方程的解法，但这一切却经历了相当长漫长的岁月。上溯到公元前1700年的古巴比伦时期，当时的泥板上记载了大量的一元二次方程问题及其解法。而一元二次方程的求根公式最早由7世纪印度数学家婆罗萨笈多给出。9世纪阿拉伯数学家花粒子米用配方法来解一元二次方程，并给出了几何模型。13世纪意大利数学家斐波那契解决了一个三次方程问题，并将根精确到了小数点后的6位数字。直到15世纪末，意大利数学家帕西沃丽声称：三次方程的代数解法与画圆为方问题一样是不可能的。直到16世纪意大利数学家塔尔塔利亚给出了三次方程的解法。而最终，在1824年由挪威的数学阿贝尔证明了五次及五次以上的方程是没有根式解的。”学生不由地感叹数学历史文化的博大精深，同时也感慨数学发展过程中批评与发展的力量，严谨探知的求学深深触动着他们。
再回到我们前面的疑惑中来，既然我们无法用公式法求解五次方程的根，也就是无法从数的角度求解这道方程。这时教师可以有效地引导学生转化思维——数形结合，引导学生从形的角度研究来方程的根，从而导入课题“方程的根与函数的零点”。
（三）新知探究：付诸实践，归纳小结
引导学生从熟悉的二次方程入手：求解下列方程的根，并画出对应函数图象。
（1）方程
与函数
;
（2）方程
与函数
;
（3）方程
与函数
;
学生自己动手操作，求解方程的根，并画出了相应的函数图象，填写表格如表1所示。
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一元一次方程 |
方程的根 |
二次函数 |
函数的图象 |
图象与 |
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无实根 |
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不存在 |
表1
再引导学生思考“方程的根与相应函数图象与
轴交点的横坐标有什么关系”。学生很容易观察得到“方程的实数根就是相应函数图象与轴的交点的横坐标”。对其深入探究，从而有“相应函数图象与轴的交点”即“函数
”，“横坐标”对应“实数”。引导学生归纳得到“零点”的概念：使得函数的实数就是函数的零点。零点是数，而不是点。
接着抛出思考题：函数的零点，方程的实数根以及对应函数图象与轴交点的横坐标，三者之间有什么关系？ 根据零点概念，学生很容易得到“方程的实数根等价于相应函数图象与轴交点的横坐标，等价于函数的零点”这样的结论。对回答予以肯定的同时进一步归纳总结——对于函数
有零点，从“数”的角度理解，就是方程有实数根；从“形”的角度理解，就是函数的图象与轴有交点。总之，函数有零点，等价于方程
