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探讨高中数学应用题教学中数学建模的应用

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热度0票浏览22次时间：2019年4月11日 12:41

应用题是高中数学中的一种常见题型，用于考查学生对所学知识的掌握以及灵活应用情况，对学生的理解、分析问题的能力要求较高，因此，教学实践中，教师应传授相关的解题技巧，使学生能够根据不同情境，建立正确的数学模型，迅速作答。高中数学中的数学模型较多，主要有函数模型、不等式模式模型、数列模型等，教师应注重这些模型在解答应用题中的讲解。

一、函数模型的应用

函数是学生接触、学习较早的数学知识，用于研究变量间的关系，不仅是数学学习的重点，而且在实际生产生活中应用广泛。高中数学应用题中涉及的函数知识，较为抽象，难度较大。为提高学生解答应用题的能力，树立解答应用题的自信，教师一方面，引导学生建立正确的模型，使其搞清楚变量的取值范围。另一方面，灵活运用函数知识，找到函数的单调区间，结合创设的情境，正确解答。

例1，如图1，两个圆形飞轮通过皮带传动，其中大飞轮O₁的半径为2r（r为常数），小飞轮O₂的半径为r，O₁O₂=4r。在大飞轮的边缘上有A、B两点，满足∠BO₁A=，在小飞轮的边缘上有点C。设大飞轮逆时针旋转一圈，传动开始时，点B、C在水平线O₁O₂上。

图1

（1）求点A到达最高点时，A、C间的距离；

（2）求点B、C在传动过程中高度差的最大值。

分析：（1）较为简单，解答的关键找到两个飞轮转动关系，即，大飞轮转动角度是小飞轮转动角度的一半。（2）需要借助直角坐标系，创建函数模型，借助导数知识进行求解。

（1）由图可知A到达最高点时，转动了，C转动了。此时A点的坐标为（0，2r），C点的坐标为（，），由两点间的距离公式得：

AC==

（2）根据题意，设大飞轮转过的角度为，则小飞轮转过的角度为2，其中∈[0，2]，则B（2rcos，2rsin），C（4r+rcos2，rsin2），则B、C的高度差为d，则d=|2rsin-rsin2|，即，d=2r|sin-sincos|，设f（）=sin-sincos，∈[0，2]，

则=（1-cos）（2cos+1）=0，解得cos=或1，则=、，0，2，当∈（0，）时，＞0，∈（，）＜0，当∈（，2），＞0。

显然当=时，f（）取得最大值，因此，BC转动中高度差的最大值为。

二、不等式模型的应用

不等式是高中数学的重要知识点，题型多变，既可以以选择题、填空题的形式出现，也可以应用题的形式出现。其中以应用题形式出现时，不仅要求学生列出正确的参数关系，而且需要准确确定参数范围，如此才能保证解答的正确性，因此，教学实践中，教师应注重讲解经典例题，使学生感受构建不等式模型的过程，掌握创建不等式模型的方法及注意事项。

例2，某森林发生火灾，火势每分钟蔓延100m²，消防站接到报警派消防员灭火，在火灾发生的5分钟后到达现场。已知消防队员平均每人每分钟灭火50m²，消耗的劳务津贴、灭火材料为每人每分钟125元。另外，每次救火耗损的装备、器械、车辆等费用每人100元，烧毁每平方森林损失60元。

（1）若救火的消防队员为x名，用t分钟将火扑灭。构建t和x的函数关系。

（2）派多少名消防队员取救火，使得总损失y最少？

分析：（1）认真读题，搞清楚参数间的关系不难求解。（2）需要构建总损失和消防队员数量关系的模型。

（1）t分钟火烧毁的森林面积为100×5+100t，则500+100t=5×t×x，即，t==

（2）设派x名消防队员，总损失y最少，则：

y=125tx+100x+60（500+100t）

由（1）得y=125·x·+100x+30000+=31450+100（x-2）+

由不等式知识得y≥31450+2=36450，当且仅当100（x-2）=，即，x=27时，y有最小值36450。

三、数列模型的应用

数列在高中数学中占有重要地位，是高考的必考内容。数列类型的试题不仅抽象，而且解答的技巧性较强，很多学生望而生畏，尤其以应用题的形式出现，难度较大，很多学生不不知所措。事实上数列类型的应用题有着明显的特征，因此，教学实践中，教师一方面，要求学生认真审题，找到创建数列模型的突破口。另一方面，认真分析创建的数学模型，根据题干要求求解出结果。

例3，某城市现有汽车保有量30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相等。为保护环境，要求该城市汽车保有量不能超过60万辆，那么每年新增汽车数量不能超过多少辆？

分析：该题属于数列类型的题目，应建立第n年汽车保有量和每年新增汽车数量间的函数关系式。

设该年年底的汽车保有量为b₁万辆，以后各年年末汽车保有量依次为b₂万辆，b3万辆，...，每年新增汽车x万辆。