高中数学教学中数形结合思想的应用初探
数形结合是一种重要的数学思想,应用于高中数学解题中,可简化解题步骤,提高解题效率,因此,教学实践中,教师应做好教学内容分析,注重数形结合思想在教学中的渗透,并通过经典例题的讲解,使学生感受数形结合思想的具体应用,提高该思想的应用意识,提升数学解题能力。
一、数形结合思想应用于参数范围的求解
求解参数取值范围是高中数学常见题型,学生并不会感到陌生。该题型求解方法多种多样,尤其应用数形结合思想求解,计算简单、事半功倍,因此,教学实践中,教师应将数形结合思想渗透至相关教学内容之中,提高学生认识。同时,注重列举经典例题,为学生讲解数形结合思想的具体应用,使学生感受数形结合思想在解题中的妙用,培养学生应用数学结合思想解题的意识与习惯。
例1,已知实数a、b、c,满足a2+b2=c2,c≠0,求的取值范围。
该题目题干较简单,很多学生看到题目后没有思路。教师则引导学生认真观察a2+b2=c2,不难联想直角三角形中的勾股定理。考虑到c≠0,则可令a=ccosx,b=csinx,使用数形结合思想求解。取x[0,2],则==。令y=,求其取值范围,即求点(cosx,sinx)和点P(2,0)斜率的取值范围。而点(cosx,sinx)在单位圆上,因此,画出如图1所示图形。
图1
由图不难得知直线斜率的取值范围是[-,],即,的取值范围为[-,]。
解答高中数学题目时,教师应引导学生如遇到较为新颖的题型,应冷静分析,联想已学过的知识点,如三角换元,将其转化为对应的图形,借助数形结合思想求解。正如该题,看似无从下手,换元后应用数形结合思想,问题便迎刃而解。
二、数形结合思想应用于零点个数的求解
求解函数零点个数题型在高中数学中的出现频率较高。部分试题涉及的函数为抽象函数,难度较大,一些学生不知如何求解。教学实践中,教师一方面,为学生深入讲解零点个数知识点,使学生深入理解函数的零点是函数与x轴交点的横坐标,是一个数值,而不是一个点。另一方面,优选经典例题,引导学生应用数形结合思想求解,加深对零点理解的同时,掌握应用数形结合思想解答零点个数试题的技巧。
例2,已知函数f(x)是定义在[1,+∞)上的函数,且f(x)=,则函数y=2xf(x)-3在区间(1,2019)上的零点个数为:___。
如从代数角度考虑该题,不仅难度较大,而且计算繁琐,不容易得出正确结果。对要求的问题进行深入分析可知,可将y=2xf(x)-3的零点转化为y=f(x)和y=的交点个数。
图2
根据题干画出如图2所示图形,易知交点在x1=,x2=3,x3=6,···,xn=3·2n-2,···。由xn=3·2n-2(1,2019),解得1≤n≤11,因此,函数y=2xf(x)-3在区间(1,2019)上的零点个数为11。
求解函数零点个数的题目,难度或难或易,尤其针对运用代数法求解难度较大的题目,不妨使用数形结合思想进行求解,即,将函数两点问题转化为两个函数交点问题,而后借助图形便不难求解。
三、数形结合思想应用于最值的求解
求最值在高中数学各类测试中较为常见,常应用不等式知识进行求解。但部分题目不能直接运用不等式知识求解,需要进行转化,即,将“形”转化为“数”,因此,教学实践中,教师一方面,为学生深入讲解数形结合思想,要求学生不仅要知道将“数”转化为“形”,也应知道将“形”转化为“数。另一方面,为进一步加深学生对数形结合思想的深入理解,为其灵活应用奠定基础,教师应注重讲解经典例题。
例3,在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上,若=+,则+的最大值为:____。
分析可知,该题目无法直接求解,需要结合图形,构建平面直角坐标系,运用数形结合思想进行求解。根据题干建立如图3所示的平面直角坐标系。
图3
设A(1,0),B(0,0),C(2,1),P(x,y),由等面积公式可得圆的半径r=,则圆的方程为(x-2)2+y2=,则=(x,y-1),=(0,-1),=(2,0),∵=+,则,则+=,令z=,因为点P(x,y)在圆(x-2)2+y2=上,因此,圆心到直线距离d≤r,即,≤,解得1≤z≤3,即+的最大值为3。
解答求解最值题目时,常将图像转化为数,运用函数或不等式知识求解。正如本题将图形之间的关系转化为坐标,运用点到直线距离求解最大值,顺利得出正确结果。通过该题目的讲解使学生认识到运用数形结合思想时,应具体问题具体分析,注重应用的灵活性。
四、结论
高中数学试题类型多种多样,蕴含丰富的解题思想,为提高学生的解题能力与数学成绩,教学实践中,教师既要注重数学基础知识讲解,使学生扎实掌握函数、方程与图形知识。另外,还应传授相关的解题思想,指导学生更好的解题,尤其通过讲解经典题目,为学生讲解数形结合思想的应用,使学生掌握数形结合思想应用技巧,结合具体题目,积极联系所学,实现数与形之间的灵活转化。