用“心”巧解直线与圆问题
直线与圆是高中数学的一个重要内容，从近几年的高考试题来看，涉及到直线与圆的问题较多，且同学们出错的频率较高，其主要原因是同学们没把直线与圆的位置关系理顺，为了解决这个问题，结合多年的教学实践，将方法归纳为：从心入手，巧解直线与圆问题。下面我就以直线与圆的位置关系为背景的试题加以探讨。希望对同学们的学习有所帮助。
一、直线与圆相切问题
例1 （2019年浙江卷）已知圆
的圆心坐标是
，半径长为
，若直线
与圆
相切于点
，则
分析：解决直线与圆的相切问题，简捷和通用的方法就是：利用圆心
到直线
的距离
解：
直线
与圆
相切
圆心
到直线
的距离等于半径
即：
又
二、直线与圆相交问题
例2 已知直线
过点
，当直线
与圆
有两个交点时，求其斜率
的取值范围
分析：若直线与圆相交，则圆心到直线的距离小于半径，即利用圆心
到直线
的距离
＜
求出斜率
的取值范围
解：圆
的圆心
，半径
由题意知直线 
的斜率
存在，
直线 
的方程可设为
，即
∵ 直线
与圆有两个交点
＜1
故
＜
＜
例3 （2018年全国1卷）直线
与圆
相交于
两点，则
分析：已知直线与圆相交，求弦长，主要是利用弦长的一半、弦心距、半径构成的直角三角形求解
解：
圆
的圆心
的坐标为
，半径为
圆心
到直线
的距离为
三、直线与圆相离问题
例4 圆
上的点到直线
的最小距离是 （ ）
分析：圆上的点到与该圆相离的定直线的距离的最值问题，可转化为圆心到该直线的距离，然后通过加减圆的半径来求得圆上的点到直线的距离的最值
解：∵ 圆的方程可化为
其圆心为
，半径为
∴ 圆心
到直线的距离
圆上的点到直线的最小距离为
故填
四、切线问题
例5 圆
：
与圆
：
的公切线有且仅有（ ）条
A 
B 
C 
D 
分析：公切线的条数与两圆的位置关系有关，两圆位置关系取决于圆心距与两圆半径的大小
解：将两圆化为标准方程分别为： 
圆
因为圆心距
＜
所以两圆相交，其公切线有且仅有2条，故选B
例6 从直线
上的点向圆
引切线，则
切线长的最小值为______
分析：要使切线长最短，就必须使圆心到直线的距离最大即可
解：当过圆心的直线与直线
垂直时，圆心到直线的距离最小，
即距离为
，所以切线长的最小值为
【习题演练】
1、若直线
2、若直线
与圆
相交于
两点,且
则
3、已知
是直线
上的一动点，
是圆
的两条切线，
是切点，若四边形
的最小面积是2，则
4、已知圆
的方程为
，点
在直线
上，线段
为圆
的直径，则
的最小值为
