周期函数的学习“五问”
函数思想是高中数学的一种重要思想，它贯穿着整个高中数学的学习内容.周期性是函数的重要性质之一，也是高考中的热点问题.由于教材中关于周期的概念内容讲述不多，学生们在学习的过程存在不少的误区.笔者依据自己的教学心得，归纳出学习周期函数时需要弄清楚的“五问”，供同学们学习参考.
1.周期定义中需注意哪些？
教材中周期的定义：一般地，对于函数
，如果存在一个非零常数
，使得当
取定义域内的每一个值时，都有
那么函数
就叫周期函数，非零常数
叫做这个函数的周期.如果不加特别说明，周期一般都是指函数的最小正周期.从定义出发需注意以下几点：
(1) 定义中自变量x的任意性,即等式
对于定义域中的任意
恒成立.
例如
对于
都成立，但
不是
的周期，因为当
时，
.
(2) 定义中“
”指的是自变量
只要并且至少要增加到
，函数值才能重复取得.
例如
对任
恒成立，但不能说
是
的周期，因为
而
，所以
2.
为
的周期，
一定是函数的周期吗？
不一定.由等式
可知：
都在函数的定义域中，当
时，
，当
时，
，所以函数定义域的两端至少一端是无界的，由此可知
为
的周期，
不一定是函数的周期，如
当
时，
无意义，所以
就不是
的周期.
3.周期函数是否一定有最小正周期？
不一定.例如
=C（C为常数），对于任一非零常数
，都有
所以
为函数
的一个周期，但不存在最小正周期.又如狄里克雷函数
也没有最小正周期.
4. 求周期的常用方法有哪些？
求周期常用的方法有：定义法，公式法，图象法.
例1 求
的周期.
解：（定义法）
所以
例2 求
的周期.
解：（公式法）
所以
例3 求
的周期.
解：（图象法）由
的图象可知：
求周期的几个常用结论：
（1）若
（或
），则
=2|a|；
（2）若
,
，则
=2|a-b|；
（3）若
,
，则
=2|a-b|；
（4）若
,
，则
=4|a-b|.
5.函数的周期性怎么证?
周期性的证明是比较难的问题，一般利用定义采用反证法的方法加以证明.
例4 求证
的最小正周期是
.
证明：
可知
是
的一个周期.
假设存在一个非零常数
使得
即
取
时，
则
因为
所以
而
所以
的最小正周期是
.
