平面向量的解题例谈
平面向量是高中数学重要的基础知识，概念、性质、定理较多，记忆与理解难度较大。新课改下，如何传授相关解题方法，使学生灵活应用平面向量知识，不断提高学生的解题能力，实现知识向能力的转化，是一线教师关注的重点。
一、向量线性运算解题方法
向量线性运算包括向量的加法、减法、数乘综合运算等，相关题目在各类测试中均有所出现。正确解答该类题目的关键在于理解概念，能够运用基底表示向量，因此，教学实践中，教师应引导学生脚踏实地，不可好高骛远，将基础知识搞清楚、弄明白，配合相关题目讲解，使学生切实地掌握向量线性运算本质，做到顺利、成功解题。
例1：如图1，平行四边形ABCD中，DC、BC的中点分别为点M、N，其中
=c
=d，试用c、d表示
、
。
图1
分析：该题目考查向量线性运算，讲解该题目时，教师应引导学生认真观察图形，找到已知向量与要求向量的关系。同时，要求学生注意向量线性运算时，应注意搞清向量的方向。解题时根据题意，可用、作为基底表示、，计算得出向量系数，最后使用、表示、即可。
解题：由题意设=a，=b，∵M、N是DC、BC的中点，可得
=
b，=a
在△ABN和△ADM中，存在以下关系：
解上述公式得：a=
（2d-c）、b=（2c-d），
∴=
d-c，=c-d。
点评：平面向量线性运算类型的题目难度不大，解题时常使用基底向量表示平面内的任意向量，运用平行四边形或三角形法则进行运算，找到与基底向量间的关系即可。
二、向量坐标运算解题方法
向量坐标是向量的代数表示，其运算便转化成为代数运算，实现了数与形的统一。运用向量坐标运算可解决向量平行、判断共线、向量模等相关问题，因此，教学实践中，教师应注重向量坐标运算解题方法的讲解，使学生掌握向量坐标运算的过程，以及相关解题技巧。
例2：已知平面上的存在ABCD四点，坐标分别为A（1,0）、B（4,3）、C（2,4）、D（m，n），当m、n满足什么条件时，四边形ABCD为梯形。
分析：解答该题目时，应明确当四边形ABCD为梯形时边与边间的关系，而后使用向量的坐标运算进行计算，找到向量系数。显然四边形ABCD为梯形时上底、下底平行，考查了向量共线的知识，但两底并不确定，因此存在两种情况。
解题：根据题意，当四边形ABCD为梯形时满足
或
其中
为实数，且＞0，≠1，即满足以下关系式：
或
对上式整理得：m、n的取值条件为n=m+2（m＜2，m≠-1）或n=-
（m＜1且m≠-1）
点评：向量的加法、减法及实数和向量的积均可通过坐标进行计算，将向量运算完全代数化。在解答相关题目时，应注重向量基本定理、共线定理的应用。
三、向量数量积运算解题方法
平面向量的数量积计算方法有两种：根据数量积定义计算，计算公式为：a·b=|a||b|cosθ，θ为向量a、b的夹角；根据向量坐标计算，计算公式为a·b=x1x2+y1y2，其中a=（x1，y1）、b=（x2，y2）。运用向量数量积可解答两个向量夹角、平面内两点间的距离、向量的模等。教学实践中，教师应注重讲解一些典型例题，传授相关的解题技巧，帮助学生深刻理解向量数量积知识。
例3：已知平面向量a、b，|a|=1，|b|=
，且|2a+b|=
，则向量a和a+b的夹角为（）
A、
B、
C、
D、
分析：该题目看似简单，难度中等，主要考查学生能否灵活应用平面向量数量积相关知识。部分学生对平面向量数量积知识理解不深入，无法灵活转化已知条件，导致解题出错，因此，教师应注重板书详细的解题过程，帮助学生迅速找到解题突破口，提高该类题目的解题正确率。
解题：由已知条件可知|2a+b|2=4|a|2+4a·b+|b|2=7，|a|=1，|b|=，∴4+4a·b+3=7，因此a·b=0，因此，a⊥b（如图2所示）
图2
∴a和a+b的夹角为∠COA，则tan∠COA=
=
=，
