基于数学例题教学 培训学生创新思维
美国著名的解题宗师
波利亚说“掌握数学就意味着善于解题”,要学会善于解题,就要有正确的数学思维与方法、敏锐的直觉与创新意识.数学例题教学不仅要让学生的思考,而且要让学生在思考中产生创新思维,让学生通过思考程度的深入,越感到思考出味道,而且渐渐感到一些特别芳馨的味道.数学例题的解决不仅依赖于数学思想与方法,更加有利于培养和训练学生创新思维.
例1 (2014四川绵阳高三第一次诊断试题) 证明等式 
分析：此题若用常规思维去考虑,学生会感觉找不到突破口,教师若能引导学生在思维方式、方法上创新(即把证明不等式转化为知函数值域问题)一下,即将此题的要证的
等价变形为
.经教师简单“点拨”，学生马上联想到构造辅助函数
,再结合函数的导数与函数的单调性例题就迎刃而解了.
证明: 由
可知其定义域为
构造辅助函数：
.
而有:
.
(1) 当
时有:
,函数
为增函数,
且有
时函数值最大为 
,
所以: 
,故: 
(2) 当
时有:
,函数
为减函数,
所以: 且有
时函数值最大为 
,
,故:
综合（1）、（2）可得:
(
)
评注: 导数是高中课改后增加的内容,它在高中数学问题解题中具有极强的“生命力”,若在教学过程之中教师能很好地利用“导数”这一工具定能收到事半功倍之奇效.
例2 设
为实数，且满足关系式：
基金项目:四川省教育厅基金资助(16ZB0314)
通讯作者:胡小平(1964- ),男,教授,研究方向:数学教育;试题分析与研究
，则
_________.
解析 此题用常规方法,分别求出
和
的值后再求
则既繁且难,三次方程毕竟不熟悉.教师引导学生认真分析其题的结构特征:两个方程对应相加其和为面,从而将思维培训开去联想:若将两方程联立构造出方程
.
利用函数
的单调性,易得
,由此式推出
的值为
十分自然、简洁(解法略).
评注: 解决此题巧妙地回避了常规思维去求出
和
的值后再求
,培训思维创新地借用了
转化为
,妙用函数单调性把例题解决.
例3 求和两直线
都相切，且过点
的圆的方程.
解析 容易验证点
在直线
上.
所以可把点
看作点圆,其方程是:
设所求圆的方程为:
(
为常数).
即 
.
其圆心
,半径为
.
是方程(2)表示的圆的切线.
化简解得
,
.
当
时，将
代入方程(2)便得所求圆的方程是:
.
当
时，将
代入所设方程,可得所求圆的方程是:
.
评注 此种方法与常规解法差异十分明显.若与常规解法相比,思路简洁、流畅,让人真有“奇思妙解”、“拍案称绝”之感,堪称培养训练学生创新思维的好题妙解.
例4 若
是定义在
上的函数,并满足
.求
.
解析 常规思维用递推关系求解,即由已知条件推出
,然后由
.尽管最终能求出结果,但必竟费时.若能放手地让学生联想所学知识(
)去相类比,而函数
是周期函数,且周期
,由此联想到原题中
可能是周期函数, 且周期
.到此, 经过培训学生的思维,例题的解决方案得以形成.
解 由
有
.
即 
是以8为周期的周期函数.
因此 
由 
可求得
所以 
评注 在该题的分析与求解过程中,充分体现了教师在数学例题教学中强化利用“类比联想意识”来培训学生创新思维.让学生在不知不觉的情况提升了创新思维的同时也提升了解题能力.
