何剑 - 三角函数中辅助角公式中的“ ”的确定策略
三角函数中辅助角公式中的“
”的确定策略
何剑
绵阳市实验中学，四川绵阳 621000
众所周知,在高中学习三角函数及相关内容时, 经常会用到辅助角公式:
(其中
,
).
或
(其中,).
其实，引入辅助角
进行变换是三角变换中的重要技能、技巧，应好它对于三角函数中的化简、求值、证明、单调性、奇偶性以及周期性等方面的问题解决都十分有利。但学生对其知之甚少，特别是对具体问题中辅助角不能准确确定、不能准确应用。
1
辅助角公式的推证
辅助角公式的实质就是两角和与差的正(或余)弦公式的逆向使用, 其具体推导如下:
.
由于
,
.
不妨令
，则
.(或
,则).
所以
(其中,).
或
(其中,).
可以看出辅助公式有两种形式，但学生经常使用的辅助公式仍然是:
(其中,).
无论学生使用的辅助公式是哪种形式, 其中辅助角的大小确定是避免不了的, 虽然告之了,但由于
的正与负的原因造成辅助角的在
之间的具体大小仍无法且体精确确定，从而造成解题失误.
2 辅助角公式中的“”的确定策略
文[1] 中指出:
“所以
(其中所在象限要结合
及
的符号确确, 角的值由来确定).”
其实, 由于辅助角的值由来确定，联想到三角函数的定义式
(其中
为角
终边上任意一点的坐标(除坐标原点外)). 辅助角公式中的“”的确定，我们还有如下更为简单便捷、学生更容易学习与容易掌握的方法. 其具体策略为:
(1) 由
,求出锐角
.
(2) 若点
在第一象限, 则取
；
若点在第二象限, 则取
；
若点在第三象限, 则取
；
若点在第四象限, 则取
.
这样处理辅助公式中的“”角的值，既不容易出错，而且简单易学，同时，由于高中所涉及的
几乎都是特殊角，这对学生的学习、掌握知识与方法提供了极好的方便。
3
典型应用策略实例解析
辅助公式在三角式的化简、求值、证明三角式、解三角方程、解三角不等式、讨论某些函数的性质以及三角函数图像变换等诸多方面都有广泛的应用。
例1 把下列各式化为一个角的一个三角函数形式
(1) 
(2)
