三次函数的考点知识解析

 利用导数研究函数的单调性、极值、最值是高考的热点，要求会求函数的单调区间，会讨论含参数的函数的单调性，已知单调性求参数的取值范围，还有关于极值、最值、不等式、恒成立和存在性等综合问题，甚至高考压轴题中常见的包含指数型函数和对数型函数等函数问题，常常转化为三次函数问题，关键就是解决某些三次函数问题，其他问题迎刃而解，进而有必要结合导数等方法研究三次函数的定义、单调性、对称中心、极值、最值、切线、图象和性质，体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性，感受导数方法的优势和体会数学自身发展的一般规律。

一、定义：《语数外学习》杂志社官方网站7I$?,d E7Ez`/Jh

定义1. 形如的函数，称为一元三次函数，简称三次函数，；

定义2. 三次函数的导函数为二次函数:，我们把,叫做三次函数导函数的判别式。

二、三次函数图象与性质的探究

1. 三次函数的单调性

一般地，当时，三次函数在上是单调函数；

当时，三次函数在上有三个单调区间.

分析：，判断三次函数单调性，转化为二次函数不等式问题，相应的二次方程的判别式。

2. 三次函数的对称中心《语数外学习》杂志社官方网站{n5a1\P}Y

三次函数是中心对称曲线，对称中心仍在该曲线上，且其坐标为点，此点的横坐标是其导函数的极值点.《语数外学习》杂志社官方网站nt;tU0d

证明：方法一：假设三次函数关于点对称，

充要条件是对曲线上任意一点，有恒成立，《语数外学习》杂志社官方网站b7Xl9h8d3` wo1{

即：+，

整理得，，

据多项式恒等对应系数相等，可得且，

从而三次函数是中心对称曲线，且由知其对称中心仍然在曲线上，对称坐标为；

方法二：，

令函数，则函数是奇函数，其图象的对称中心为，

故函数图象的对称中心为，且该点在三次函数曲线上.《语数外学习》杂志社官方网站)NAc,d
Ij \

方法三：设使是奇函数，则，《语数外学习》杂志社官方网站u#NTN8DqZ;N;J

化简得：，由于，，即.故函数图象的对称中心为，且在三次函数曲线上.《语数外学习》杂志社官方网站$u.V3]:fpHt

方法四：图象的对称轴方程为，所以，

故，，当时，有，

所以，所以函数图象的对称中心为，且在三次函数曲线上.

方法五：，

所以图象上的切线斜率最小值，不妨设，《语数外学习》杂志社官方网站 N!N+M
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二次函数在区间上单调递减，函数的图象在是上凸的；《语数外学习》杂志社官方网站6S/rafj+s!v

二次函数在区间上单调递减，函数的图象在是下凸的.

在处导数取最小值的点为是函数的拐点（横坐标为的根且图象凹凸性改变），即为函数的对称中心.《语数外学习》杂志社官方网站 Ewq#A!V9o%Dm

说明：该性质应用待定系数法、配方法、构造法、积分法、微分法”证明，同理可探索出三次函数不是轴对称曲线。《语数外学习》杂志社官方网站o.LHr"a-F

3.三次函数的图像和性质：《语数外学习》杂志社官方网站&E$bRk f

三、与三次函数有关的常见问题和相关结论《语数外学习》杂志社官方网站Fr-{0m_3S_

1.三次方程根的问题《语数外学习》杂志社官方网站[!bT,\2j(c@f

（1）当时，由于不等式恒成立，对应三次函数在上单调递增的，所以原方程仅有一个实根；《语数外学习》杂志社官方网站hx*u/f$T/Y^0zES

（2）当时，由于方程有两个不同的实根，不妨设，由可知，为函数的极大值点，为极小值点，且函数在和上单调递增，在上单调递减.《语数外学习》杂志社官方网站;I9Pk!ODi

结论：①若，即函数极大值点和极小值点在轴同侧，图象均与轴只有一个交点，所以原方程有且只有一个实根；

②若，即函数极大值点与极小值点在轴异侧，图象与轴必有三个交点，所以原方程有三个不等实根；

③若，即与中有且只有一个值为，所以原方程有三个实根，其中两个相等（即有二个不等实根）.《语数外学习》杂志社官方网站/{gy*C1~]1@"r

2.三次函数的极值问题

    若函数在点附近有定义，如果对附近的所有的点，都有 (或)，则称函数在点处取得极大值（或极小值），称点为极大值点（或极小值点）；

（1）当<