三次函数的考点知识解析

 利用导数研究函数的单调性、极值、最值是高考的热点，要求会求函数的单调区间，会讨论含参数的函数的单调性，已知单调性求参数的取值范围，还有关于极值、最值、不等式、恒成立和存在性等综合问题，甚至高考压轴题中常见的包含指数型函数和对数型函数等函数问题，常常转化为三次函数问题，关键就是解决某些三次函数问题，其他问题迎刃而解，进而有必要结合导数等方法研究三次函数的定义、单调性、对称中心、极值、最值、切线、图象和性质，体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性，感受导数方法的优势和体会数学自身发展的一般规律。

一、定义：

定义1. 形如的函数，称为一元三次函数，简称三次函数，；

定义2. 三次函数的导函数为二次函数:，我们把,叫做三次函数导函数的判别式。

二、三次函数图象与性质的探究《语数外学习》杂志社官方网站U9L`\ h}.u

1. 三次函数的单调性《语数外学习》杂志社官方网站/B[+c2A,Y,J&kv-I

一般地，当时，三次函数在上是单调函数；

当时，三次函数在上有三个单调区间.《语数外学习》杂志社官方网站H Mb(eAmy

分析：，判断三次函数单调性，转化为二次函数不等式问题，相应的二次方程的判别式。《语数外学习》杂志社官方网站V;xX iXG3I~3B

2. 三次函数的对称中心

三次函数是中心对称曲线，对称中心仍在该曲线上，且其坐标为点，此点的横坐标是其导函数的极值点.

证明：方法一：假设三次函数关于点对称，

充要条件是对曲线上任意一点，有恒成立，《语数外学习》杂志社官方网站 K8k Z:h7IlHt6h

即：+，

整理得，，

据多项式恒等对应系数相等，可得且，

从而三次函数是中心对称曲线，且由知其对称中心仍然在曲线上，对称坐标为；

方法二：，《语数外学习》杂志社官方网站uJ2B
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令函数，则函数是奇函数，其图象的对称中心为，

故函数图象的对称中心为，且该点在三次函数曲线上.《语数外学习》杂志社官方网站4aU Sid

方法三：设使是奇函数，则，

化简得：，由于，，即.故函数图象的对称中心为，且在三次函数曲线上.《语数外学习》杂志社官方网站0O,bf2uL/AN!D}8Ie

方法四：图象的对称轴方程为，所以，《语数外学习》杂志社官方网站(jzjM_Kh

故，，当时，有，《语数外学习》杂志社官方网站-J9i*s(|6`,S(f
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所以，所以函数图象的对称中心为，且在三次函数曲线上.《语数外学习》杂志社官方网站V%W/jcR&a \a+U

方法五：，

所以图象上的切线斜率最小值，不妨设，《语数外学习》杂志社官方网站+u1O&|f$Q F{

二次函数在区间上单调递减，函数的图象在是上凸的；《语数外学习》杂志社官方网站+w~K&rc$F

二次函数在区间上单调递减，函数的图象在是下凸的.

在处导数取最小值的点为是函数的拐点（横坐标为的根且图象凹凸性改变），即为函数的对称中心.《语数外学习》杂志社官方网站s-qG3i0Z~$}B

说明：该性质应用待定系数法、配方法、构造法、积分法、微分法”证明，同理可探索出三次函数不是轴对称曲线。《语数外学习》杂志社官方网站H |.a\l l

3.三次函数的图像和性质：

三、与三次函数有关的常见问题和相关结论《语数外学习》杂志社官方网站RL9\qb M`z

1.三次方程根的问题

（1）当时，由于不等式恒成立，对应三次函数在上单调递增的，所以原方程仅有一个实根；

（2）当时，由于方程有两个不同的实根，不妨设，由可知，为函数的极大值点，为极小值点，且函数在和上单调递增，在上单调递减.

结论：①若，即函数极大值点和极小值点在轴同侧，图象均与轴只有一个交点，所以原方程有且只有一个实根；

②若，即函数极大值点与极小值点在轴异侧，图象与轴必有三个交点，所以原方程有三个不等实根；

③若，即与中有且只有一个值为，所以原方程有三个实根，其中两个相等（即有二个不等实根）.

2.三次函数的极值问题《语数外学习》杂志社官方网站 Z4_"~^6Tl:M3A

    若函数在点附近有定义，如果对附近的所有的点，都有 (或)，则称函数在点处取得极大值（或极小值），称点为极大值点（或极小值点）；《语数外学习》杂志社官方网站quF9hv W"a JSHf

（1）当<