高中数学圆锥曲线参数方程的解题方法
高中数学中圆锥曲线参数方程是重要的知识点,也是高考的必考重点和难点.圆锥曲线的解题主要反映在椭圆、双曲线、抛物线等上.本文主要对高中数学圆锥曲线参数方程的解题方法进行探究.
1 最值问题
解决高中数学圆锥曲线参数方程问题,需要有创新性思维.过去主要是教师要求做大量的难题,进行多题型的练习,提高学生的成绩.但现代教学要求有针对性,提高学生的学习效率.通过训练习题,促进学生掌握解题技巧,善于运用各种解题方法,提高学生对题型的感觉能力和认识程度.在学习要避免题海战术,改善学习效率低的问题.要根据学生的学习能力和特点,设计习题,创新思维模式,灵活转换题型,举一反三,提高学习质量.
例1 设AB是抛物线上的一条弦,抛物线为y=x2。如果AB为4,M为AB的中点,求M到直线y+1=0的最短距离为多少?
解析 此题要充分发挥创新性思维,联系数学知识,灵活应用抛物线的定义和性质,与平面几何的相关知识相结合,从而使解题更加简单明了。
图1
抛物线y=x2,焦点是,准线是。经过A、B、M准线的垂线,A1、B1、M1分别是垂足。解题中所要求的距离,就是,化解可得。当并且仅当弦AB过焦点F,d取最小值。
2 范围问题
高中学习重视自主学习和合作学习相结合,发现问题及时解决,提高学生的学习水平.高中每个学科的知识相互联系,在解决圆锥曲线参数方程问题时,需要有良好的知识储备,掌握参数方程的意义和作用,有一定的基础知识和思维水平能力.参数方程是一个充分利用数形结合的知识面,通过中间变量表达点的位置,通过函数方程表示曲线上的点.学生需要明确数学多方面知识的综合应用,充分了解题目中方程的表达意义,结合坐标轴和曲线的关系,寻找解题思路.
例2 一椭圆方程与x轴的正半轴相交,椭圆的方程为,.M是相交的交点.方程上有一点N,MP与ON垂直.求解:椭圆的离心率范围是多少?
解析 面对疑难问题,学生需要发挥探究精神,积极探索,科学思维,结合所学的基础知识进行解题,提高解题能力.根据题目进行假设,N点的坐标为.根据已知条件可知M点的坐标是(a,0).并且已知条件中有,由此可知:
,化解整理可得,.
根据,以及,可以获得离心率的范围:
3 三角形问题
在高中数学解题中,学生要有探索性思维,比如在解决焦点三角形的面积时.高中数学圆锥曲线参与方程解题中,要充分应用探索性思维,把握参数方程的定义和正弦余弦等定理,联系相关知识解答题目.高中数学圆锥曲线参数方程问题,对学生的数学综合能力提出了更高的要求.在解题过程中,综合性和复杂性的题目比较多,单一性求值题目相对较少,应用的知识面更加广泛,学生需要积极思考,不断提高解题能力.在解题时不要拘泥于形式主义,综合运用知识,深度理解基础知识,正确把握解题思路.
例3 双曲线上有任意的一点P,双曲线方程为,,有.求解:的面积是多少.
解析 学生在解题时要发散思维,掌握问题的核心,或者与其他同学交流讨论,分享解题经验.本题需要结合基础知识,深刻理解相关定义,通过巧妙应用正余弦定理和面积公式进行求解.
根据已知条件的面积表示为:,
根据圆锥双曲线的定义可得:,并且,
整理可得:,
代入,可得:
4 轨迹问题
数学知识具有抽象性和复杂性,对学生的逻辑思维要求比较高,因此学生在学习中常感到比较困难.高中数学的重点和难点比较多,圆锥曲线参数方程就是其中之一,很多题目重视考查对综合理论知识的应用,而不是考查单一的概念,学生必须首先有扎实的基础知识,在解题时敢于想象和思考,有效衔接知识点,不断总结解题经验,拓展解题思路.
例4 有一抛物线为,,其上有两个移动的点A和B点,OA垂直于OB,N是AB的中点.求解:N的轨迹方程为多少.
解析 此题中需要重视参数方程的运用,作为移动的点N,根据已知条件求其轨迹方程.根据题目假设,N点为坐标为(x,y).A和B是抛物线上的点,A的坐标可表示为.由于,可获得B点的坐标为.
N点轨迹表示,.
整理可得:.
由此可得点N的轨迹方程为
总之,高中数学在培养学生的创新能力和思维能力中发挥着重要的作用,高中数学中的圆锥曲线参数方程考查了学生对概念、公式等的掌握,学生需要掌握基础知识,利用结构和运算,需求解题方法.