用“逆向”问题训练学生数学思维
摘要：数学教学不应该只让学生获得数学知识和技能，更重要的是启发学生的思维，培养学生分析问题，解决问题的能力，促进学生的全面发展.在数学课堂上培养学生的运算能力，能有效地为将来学生数学学习奠定了良好的思维能力基础等，这也成为了数学教师的重要任务.本文主要分析了影响数学教学中的逆向思维的因素，并提出了对学生的数学思维策略的培养
关键词：逆向
问题 变换 拓展
“逆向”问题是求出一个数学问题的正确结论后，将其作为条件之一，提出与原来问题有关的新问题，我们把它称为原来问题的一个“逆向”问题.这在我们数学里有很多这样的问题.
例如：原来问题是“若正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，求该正四棱锥的体积”求出体积
后，它的一个“逆向”问题可以是“若正四棱锥的体积为，求所有侧面面积之和的最小值”.
针对一个题目，提出它的“逆向”问题，可以训练学生的解题思路，通常我们说的对问题的“举一反三”，特别是现今高中学生为了应对高考，一般是做大量的题目，达到对数学知识的熟练掌握，这些题目通常出自于课外的教辅学籍，耗费了学生大量的时间和精力，实际上大部分高考题目的背景和影子都来自于教科书上，所以我们吃透教材，反复研究就能把数学的绝大多数知识点掌握，训练学生对教科书中的题目进行“逆向”提问，就能实现对该数学知识点的拓展.仅以教科书中试题的逆向问题来训练学生解题思路.
例1求点P(－5，7)到直线12x+5y－3=0的距离的一个有意义的“逆向”问题，并解答如下：
“逆向”问题可以是：
（1）求到直线12x+5y－3=0的距离为
的点的轨迹方程.
解：设所求轨迹上任意一点为P(x，y)，则
所求轨迹方程为：
12x+5y+31=0或：12x+5y－25=0
（2）若点P(－5，7)到直线l：12x+5y+c=0的距离为，求直线l的方程.
解：
，化简得： 
所以，直线l的方程为：12x+5y－3=0或12x+5y+53=0
通过以上的变换，可发现不是问题的简单逆向，而是会产生更多种解，点与直线的距离问题就比较清晰了.
例2、直线x－2y+2=0与椭圆
相交于A、B两点，求A、B两点的距离.
“逆向”问题可以是：
求经过点P(－2，0)与椭圆相交的弦长为
的直线方程.
解：显然直线的斜率存在，设为k，直线方程为
.
代入得：
由弦长公式得：
求得：
直线方程为：
通过“逆向”变换，我们对含有参数的直线与曲线相交，弦长问题有了更加深入的理解.
例3、点P是椭圆
上一点，以点P以及焦点
为顶点的三角形面积等于1，求点P的坐标.
“逆向”问题可以是：
（1）点
是椭圆上一点，求以点P以及焦点为顶点的三角形面积.
解：
（2）点
是椭圆
上一点，以点P以及焦点为顶点的三角形面积等于1，求椭圆的方程.
解：
解得：
椭圆方程为：
（3）点P点是椭圆上任意一点，为椭圆的焦点，且
，求
的面积.
解：设
在中由余弦定理得：
椭圆上任意一点与两焦点构成的三角形问题，通过这题的变换基本体现出来，只是参数的改变问题了.
例4、两条曲线的方程是
，它们的交点是
的曲线也经过点P（
是任意实数）.
“逆向”问题可以是：
（1）求证：无论为何实数，曲线
恒经过的交点
.
（2）求证：无论m取任何实数，方程
所表示的曲线必经过一个定点，并求出这一点的坐标.
这个题的“逆向”变换，把含一个参数的曲线系方程进行了阐述，理清了无论参数取何值曲线恒过一个定点的求法.
以上仅针对直线与圆锥曲线部分的题目进行说明，高中数学的其它内容也可用同样的方法去处理.对课本上题目进行有效的“逆向”变换，有意识的对学生进行这样的训练，有助于学生对该知识点的加深、拓展，有利于培养学生的创新能力、强化解题思维，真正做到紧紧抓住课本知识，扎实有效的把握知识点本身.
