一道江苏夏令营题的多解与推广

涉及三角形中的最值问题是解三角形问题中的重点与难点之一，也是新课标大纲充分体现在“知识点交汇处”命题的一大主阵地．通过简单方便、活泼多样的问题背景设置，题目形象直观，且具有相当的难度与深度，一直是历年高考、竞赛、自主招生等命题中的基本考点和热点之一．此类问题解决的思维方式多变，破解方法也多种多样，切入点众多，是发散性思维培养的一大场所．

1．问题呈现

【问题】（2019年江苏省数学夏令营·7）在斜△ABC中，++的最小值为________．《语数外学习》杂志社官方网站1C1vN"zw9y+Z3_.w

本题题目简单，以三角形为背景，借助三角形三个内角的正切值所对应的代数关系式来确定其相应的最值问题．题中涉及角的参数有三个，且三角形的三内角之间又相互关联，如何通过题目条件加以有效转化，再借助基本的数学工具来破解相应的最小值．

2．问题解析

方法1：（平面几何法）《语数外学习》杂志社官方网站u2@OeDq]5g"U,kZ

解析：过点C作CD⊥AB，垂足为D，设CD=h，AD=m，《语数外学习》杂志社官方网站@p L'QC h)E

则BD=c－m，可得tanA=，tanB=，

由于tanC=－tan（A+B）=－=－=，

则有++=++=《语数外学习》杂志社官方网站9rB7l|*@

=≥≥==，当且仅当m=c，且c²=4h²，即m=c，h=c时等号成立，《语数外学习》杂志社官方网站 }%R"??7z*]2H)D*j

所以++的最小值为，故填答案：．

点评：以上解析过程中，设出AD=m，更确切地说，此时应该理解成有向线段，可正可负可零，这样就更加完善，为了解析的方便，直接取以上特殊情况来分析即可．借助数形结合，直观有效建立相应的关系，结合二次函数的图象与性质，以及基本不等式来确定最值问题．《语数外学习》杂志社官方网站_"EP9v^"|

方法2：（坐标法）

解析：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系Axy，

则有A（0，0），B（c，0），设C（m，h）（h>0），

可得tanA=，tanB=，

以下部分同方法1，

所以++的最小值为，故填答案：．

点评：借助平面直角坐标系的建立，通过设置点C的坐标C（m，h）（h>0），从而概括出△ABC的所有可能情况，此时m可正可负可零，这样操作比方法1更为完善，破解思维与方法更好，更能达到完美解答的目的．《语数外学习》杂志社官方网站%s6jb{]G

3．问题推广

【变式】设正实数x，y，z满足2（xy+yz+zx）－（x²+y²+z²）>0，在斜△ABC中，++的最小值为________．《语数外学习》杂志社官方网站RiEmyWb9D!h-]9J

解析：过点C作CD⊥AB，垂足为D，设CD=h TAG: 论文发表 语数外学习 语数外学习期刊 语数外学习收稿 语数外学习杂志