数形结合思想在求函数最值中的应用
求函数最值是函数研究的重要组成部分, 也是函数问题中的重点难点,选择正确的方法进行求解显得尤为重要.而利用几何图形的“数形结合”思想求函数最值就是的一个非常有效的方法, 它能直观的反映函数本身的特性,充分利用这个“形”可以把复杂的数学问题变为简单的几何问题, 便可使问题快速获得解析.
关键词:数形结合;函数最值;两点距离
数与形是数学中两个最基本的对象, 数学的所有问题基本上都是围绕数与形的提炼、演变、发展而展开的, 每个几何图形中都包含着一定的数量关系, 而数量关系又可通过图形进行直观的描述.“数缺形时少直观,形少数时难入微”,数形结合就是把数量关系与图形对应起来,可以借助图形的位置关系来研究数量关系,又或者可以利用数量关系来研究图形的性质,这是一种重要的数学思想方法.数形结合的思想可以使抽象的问题具体化,复杂的问题简单化,利用数形结合的思想方法可以深刻揭示数学问题的本质.
在考题中,数形结合的解题思想有着广泛的应用,尤其体现在求函数最值这一类型的题型上,我们往往可以利用图象为工具,借助图形的直观性寻求解题思路、制定解题方案.特别在很多选择、填空之类的小题中真正能体现数形结合这一解题方法的优势.
掌握了数形结合思想, 不仅能提高数形转化的能力, 还可以提高思维迁移能力, 接下来给出一些例子加以详细的说明.
例1求函数的最小值.
解:分析:可以把化成如下形式:
且是点到点的距离之和, 点C在 轴上滑动,关于轴的对称点为,C到的距离等于到的距离,如图所示:
因此
故 .
以上方法是将函数化为空间三点间的距离和,再利用三点呈直线时距离和最小的性质解题, 其应用广泛, 应熟练掌握.
例2 求函数的最值.
解: 令
有又
因此可看成是直线系和椭圆在第一象限相交直线在轴上
的截距,可得,
以上是利用函数的截距的性质来解题的,可以求形如的函数最值, 可以把当作是变量, 即令, 方程一般表示一条曲线, 则可以当作是的直线在纵坐标轴上的截距, 因此截距的最值也即是函数的最值.“数形结合”解题方法应用非常广泛,在有些题型中,给出的函数并不能直接利用图形解题,但是我们可以通过 “构造法”将函数进行转换,从而解题.
例3 已知实数x,y满足不等式组 求函数 的值域.
解: 由解析几何知识可知所给的不等式组表示圆x2+y2=4的右半圆域(含边界),可改写为,把z看作参数,则此方程表示过定点P(-1,-3),斜率为z的直线系.
那么所求问题的几何意义是:求过半圆域x2+y2≤4(x≥0)内或边界上任一点与过点P(-1,-3)的直线斜率的最大、最小值.
由图显见过点P和点A(0,2)的直线斜率最大,.
过点P向半圆作切线,切线的斜率最小.