定义域中的位置变量与实际变量
把形如y=f[g(x)]的函数叫做复合函数,其中y=f(u),u=g(x),xÎA,uÎD,当x在u=g(x)的定义域A内变化时,u=g(x)的值在y=f(u)的定义域D内变化,变量y与x通过变量u建立了一种函数关系,y=f(u)=f[g(x)]称为复合函数,其中x称为自变量,u称为中间变量,y称为因变量。这类概念是函数概念理解的重要内容,也是难点之一。其中求复合函数的定义域问题一直困扰着同学们,大家搞不清楚求定义域时,到底是求x的值还是u得值,往往搞错。但若能引入位置变量和实际变量,则问题理解会清晰明了,本文对此类问题中的三种题型的求解思路作一剖析,旨在帮助大家轻松解题。
一. 已知的定义域,求的定义域
分析:设函数的定义域为D,这里的x为位置变量,指号里面的变量,不管用哪个变量来表示,都是,这里,即,此处的x就是实际要求的变量,解不等式,得,A为的定义域。
具体解法是:若的定义域是[a,b],解不等式,所得x即为所求的定义域。
例1.(2013年全国高考理理)已知函数的定义域为,则函数的定义域为
A B C D
解:此处位置变量x的范围为,即-1<2x+1<0,解得,—1<x<--
应选B。
例2. (2008年江西高考文3)若函数的定义域是,则函数的定义域是( B )
A. B. C. D.
解: 因为的定义域为[0,2],所以位置变量的范围就是[0,2],即满足,但故。应选B.
二. 已知的定义域,求的定义域
分析:设的定义域为A,实际变量,g(x)即中的x,为位置变量,由此求得位置变量的g(x)的范围就是函数的定义域,,D为的定义域。
具体解法是:已知的定义域是[a,b],即,求g(x)的值域,即所求f(x)的定义域。
例3.已知的定义域为[1,2],求f(x)的定义域。