高中数学解题中的变式训练
高中数学有不少比较抽象的知识，题型也是灵活多变，因此就要求学生具备一定的灵活应变能力与推理能力。在高中数学的解题联系中，变式训练有着重要的作用，它是高中解题的重要练习方式。变式训练能够使学生更好地理解抽象的数学知识，促进学生的解题能力与逻辑推理能力的提升，并培养学生多样化的解题思维。
一、变式训练的概念
变式训练是一种思维训练的有效模式，它是由利用构造一系列变式的方法来创设暴露思维障碍的情境，并展示解决问题的思维过程，数学问题的结构和演变过程以及知识发生、发展过程而形成的。
二、高中数学解题中的变式训练
变式题的本质在于增设对标准题的干扰因素，并要求学生求解时再转化为标准题的模式，从而还原问题的本质并逐步摆脱干扰因素。变式训练的干扰因素主要有以下三个方面：
（一）表述改变而本质不变
例三：已知两定点 A（-6，0）、B（2，0），P点（x，y）为一动点，∠APB 为P与点B、A所成的角，如果∠APB 恒为直角，则P点的轨迹方程为。
变式一：过点 A（-6，0）的动直线 l1 与过点 B（2，0）的动直线l2 垂直，求垂足 P 的轨迹方程。
变式 2：已知两定点 A（-6，0）、B（2，0），若动点 P 满足 PA⊥PB，求点 P 的轨迹方程。
变式一与变式二只是表述的语言不同而已，但是知识背景与原例题是一样的。学生在解题时只要抓住P在以线段AB为直径的圆上就可以，变式2还可以一题多解，在求解时利用向量垂直的坐标运算，从而有助于提高学生的思维能力并实现知识间的有效统一。
（二）问题改变而题设不变
例四：求一点 P在椭圆
+ 
=1 上，且两个焦点与点 P的连线互相垂直。
变式 一：椭圆
+ 
=1 的两个焦点为F1、F2，点P为一动点，且位于椭圆上，如果∠
为钝角，那么横坐标在P点的取值范围为。
图一
通过原题我们可以发现，不管是锐角还是钝角，直角始终都是作为参照的，因此这道题最为简单的解法就是几何方法。首先我们以线段 F1F2 为直径，以原点 O 为圆心，如图一所示作圆与椭圆相交，A、B、C、D 四点为其焦点。因为直径所对的圆周角为直角，∠
为直角的情况就是当A、B、C、D 四点与点P重合时。∠
为钝角时则是当点P位于椭圆上弧CD或者弧AB上时。同理当∠
为锐角时，点P的位置我们也可以推测出来，因此得出（- 3 
，3 
）就是点P横坐标的取值范围。
为了进一发散学生的思维，可以引导学生归纳出椭圆
+
=1 的两个焦点 F1，F2 为直径的圆与该椭圆的交点情况。椭圆的焦距我们设为 2c，可以得出当c＞b 时，有四个交点，当c=b 时，有两个交点，当c＜b时，没有交点。
变式二：F1，F2为椭圆
+
=1 的两个焦点，P点位于椭圆上，如果PF2垂直于PF1，问m的取值范围。
我们的解题过程如下，要想让PF2垂直于PF1，只需要椭圆与以 F1F2 为直径的圆存在焦点就可以，换句话说就是椭圆的短轴长要等于或者小于椭圆的焦距，也就是b
c，因此得出m ＞1。变式题的改变核心在于增加解题的难度和环节，改变问题的设问形式，但同时保持问题的本质不变，在这一过程中教师可以和学生来共同参与变式题的改变。
变式三：F1，F2分别为椭圆
+
=1 的左、右两个焦点，椭圆上有一点P，如果F2、F1以及 P分别为直角三角形的三个顶点，那么x 轴与点P的距离为（ ）。
A. 
B.3 C. 9 
D. 
我们的解题过程如下，这道题因为不确定哪个角为直角而具有很大的开放性。如果∠F1PF2为直角时，椭圆与该圆无焦点，当∠F2PF1或者∠F1PF2为直角时，x 轴与点P的距离为
。
（三）同时改变问题与题设
例四的变式 4：双曲线
-
=1 的两个焦点为 F1、F2，点P在双曲线上，且 PF1⊥PF2，求点 P 到 x 轴的距离。
我们用双曲线来代替原题中的椭圆，P 的纵坐标为±
很容易求得，所以
就是我们所求的距离。
我们对以原题为基础对学生进行变式训练，可以充分体现新课程的教学理念，提升学生的思维能力，挖掘学生的潜能，培养学生的创新能力。而教师为了让学生更好地领略数学的魅力，帮助学生融会贯通所学的知识，在对学生进行变式训练时要多搜集变式的题源，优化教学设计，有意识的引导学生变化中探究不变的本质，在不变的本质中发现变化的规律，从而激发学生的数学学习兴趣，使学生体会到数学学习的乐趣。
